Чтобы вычислить производную функции y = cos²(x/2) - sin²(x/2),мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции и основные производные тригонометрических функций.

Шаги решения:

1. Запишем функцию:

   y = cos²(x/2) - sin²(x/2)

2. Используем формулу производной для сложной функции:

   Если u = f(x),то производная u² будет равна 2u * f'(x).

3. Найдём производные каждой из функций:
   • Для cos²(x/2):

     u = cos(x/2),тогда производная будет равна:

     dy/dx = 2 * cos(x/2) * (-sin(x/2)) * (1/2) = -sin(x/2) * cos(x/2)

   • Для -sin²(x/2):

     v = sin(x/2),тогда производная будет равна:

     dy/dx = -2 * sin(x/2) * cos(x/2) * (1/2) = -sin(x/2) * cos(x/2)

4. Теперь сложим производные:

   dy/dx = -sin(x/2) * cos(x/2) - sin(x/2) * cos(x/2) = -2 * sin(x/2) * cos(x/2)

5. Используем тригонометрическую идентичность:

   Мы знаем, что 2 * sin(a) * cos(a) = sin(2a). Таким образом:

   dy/dx = -sin(x)

Ответ: Производная функции y = cos²(x/2) - sin²(x/2 равна -sin(x).