Похожие вопросы
2025-01-06 05:56:15
Как можно вычислить производную функции:
y = cos^2 (x/2) - sin^2 (x/2) ?
Алгебра 11 класс Производная функции вычисление производной производная функции алгебра 11 класс cos^2 sin^2 тригонометрические функции правила дифференцирования
2025-01-06 05:56:26
Чтобы вычислить производную функции y = cos²(x/2) - sin²(x/2), мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции и основные производные тригонометрических функций.
Шаги решения:
- Запишем функцию:
y = cos²(x/2) - sin²(x/2)
- Используем формулу производной для сложной функции:
Если u = f(x), то производная u² будет равна 2u * f'(x).
- Найдём производные каждой из функций:
- Для cos²(x/2):
u = cos(x/2), тогда производная будет равна:
dy/dx = 2 * cos(x/2) * (-sin(x/2)) * (1/2) = -sin(x/2) * cos(x/2)
- Для -sin²(x/2):
v = sin(x/2), тогда производная будет равна:
dy/dx = -2 * sin(x/2) * cos(x/2) * (1/2) = -sin(x/2) * cos(x/2)
- Для cos²(x/2):
- Теперь сложим производные:
dy/dx = -sin(x/2) * cos(x/2) - sin(x/2) * cos(x/2) = -2 * sin(x/2) * cos(x/2)
- Используем тригонометрическую идентичность:
Мы знаем, что 2 * sin(a) * cos(a) = sin(2a). Таким образом:
dy/dx = -sin(x)
Ответ: Производная функции y = cos²(x/2) - sin²(x/2 равна -sin(x).