Как можно вычислить производную функции y = x(1+√x)?

Алгебра 11 класс Производная функции вычисление производной производная функции алгебра 11 класс производная y = x(1+√x) правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции y = x(1 + √x), мы можем использовать правило произведения, так как у нас есть произведение двух функций: x и (1 + √x).

Давайте обозначим:

• u = x
• v = 1 + √x

Теперь мы можем использовать правило произведения, которое гласит, что производная произведения двух функций u и v равна:

(uv)' = u'v + uv'

Теперь нам нужно найти производные u и v:

1. Для u = x, производная u' = 1.
2. Для v = 1 + √x, сначала найдем производную √x. Она равна (1/2) * x^(-1/2) или 1/(2√x). Следовательно, v' = 0 + 1/(2√x) = 1/(2√x).

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

y' = u'v + uv'

Подставим значения:

y' = (1)(1 + √x) + (x)(1/(2√x))

Теперь упростим выражение:

y' = 1 + √x + x/(2√x)

Следующий шаг - упростить x/(2√x). Мы можем записать это как (√x * √x)/(2√x) = √x/2.

Таким образом, окончательное выражение для производной будет:

y' = 1 + √x + √x/2

Теперь объединим подобные слагаемые:

y' = 1 + (1 + 1/2)√x = 1 + (3/2)√x

Итак, производная функции y = x(1 + √x) равна:

y' = 1 + (3/2)√x