Как можно вычислить производную следующих функций:

1. f(x) = x в 5 степени умножить на cos(x);
2. f(x) = (2x + 5) в кубе + e в степени x.

Алгебра 11 класс Производная функции вычисление производной производная функции алгебра 11 класс производная x в 5 степени производная cos(x) производная (2x + 5) в кубе производная e в степени x правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производные функций, которые вы привели, мы будем использовать правила дифференцирования. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция: f(x) = x^5 * cos(x)

Для нахождения производной этой функции мы применим правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции u(x) и v(x), то производная их произведения f(x) = u(x) * v(x) вычисляется по формуле:

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

В нашем случае:

• u(x) = x^5, тогда u'(x) = 5x^4 (по правилу степеней)
• v(x) = cos(x), тогда v'(x) = -sin(x) (производная косинуса)

Теперь подставим все в формулу:

f'(x) = 5x^4 * cos(x) + x^5 * (-sin(x))

Или, упрощая:

f'(x) = 5x^4 * cos(x) - x^5 * sin(x)

2. Функция: f(x) = (2x + 5)^3 + e^x

Здесь мы будем использовать правило цепочки и правило дифференцирования экспоненты. Начнем с первой части функции (2x + 5)^3.

Для функции u(x) = (2x + 5)^3, применим правило цепочки:

• Сначала найдем производную внешней функции: если y = u^3, то dy/du = 3u^2.
• Теперь найдем производную внутренней функции: u(x) = 2x + 5, тогда u'(x) = 2.

По правилу цепочки:

f'(x) = 3(2x + 5)^2 * 2

Теперь вычислим производную второй части функции e^x, которая равна e^x.

Итак, полная производная будет:

f'(x) = 6(2x + 5)^2 + e^x

Таким образом, мы нашли производные обеих функций:

• f'(x) = 5x^4 * cos(x) - x^5 * sin(x)
• f'(x) = 6(2x + 5)^2 + e^x