Как можно вычислить tg(α + π/4), если дано, что sin2α = 4/5?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции вычислить tg(α + π/4) sin2α = 4/5 алгебра 11 класс Тригонометрия формулы тангенса Новый

Для того чтобы вычислить tg(α + π/4), нам нужно воспользоваться формулой для тангенса суммы углов:

tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα * tgβ)

В нашем случае β = π/4, и мы знаем, что tg(π/4) = 1. Таким образом, формула принимает вид:

tg(α + π/4) = (tgα + 1) / (1 - tgα)

Теперь нам нужно найти tgα. Для этого воспользуемся данными о sin2α. Мы знаем, что:

sin2α = 2sinαcosα

Из условия задачи нам дано, что sin2α = 4/5. Подставим это значение в уравнение:

2sinαcosα = 4/5

Теперь мы можем выразить sinα и cosα через tgα. Напомним, что:

tgα = sinα / cosα

Также используем основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1

Обозначим sinα = y и cosα = x. Тогда у нас есть следующие уравнения:

• y² + x² = 1
• 2yx = 4/5

Из второго уравнения выразим y через x:

y = (4/5) / (2x) = 2/5x

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

(2/5x)² + x² = 1

Упростим уравнение:

4/25x² + x² = 1

Соберем все слагаемые в одной части:

4/25x² + 25/25x² = 1

(29/25)x² = 1

Теперь выразим x²:

x² = 25/29

Таким образом, x = cosα = ±√(25/29) = ±5/√29. Теперь найдем y:

y = 2/5x = 2/5 * 5/√29 = 2/√29

Теперь мы можем найти tgα:

tgα = y/x = (2/√29) / (5/√29) = 2/5

Теперь подставим tgα в формулу для tg(α + π/4):

tg(α + π/4) = (2/5 + 1) / (1 - 2/5)

Упростим это выражение:

tg(α + π/4) = (2/5 + 5/5) / (5/5 - 2/5) = (7/5) / (3/5)

Теперь упростим:

tg(α + π/4) = 7/3

Таким образом, ответ:

tg(α + π/4) = 7/3