Как можно выяснить, в каких промежутках функция у = x³ + 3x² - 4 возрастает и убывает?

Алгебра 11 класс Анализ функций возрастание функции убывание функции промежутки функции алгебра 11 класс анализ функции производная функции поведение функции график функции Новый

Чтобы выяснить, в каких промежутках функция y = x³ + 3x² - 4 возрастает и убывает, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

   Производная функции y = x³ + 3x² - 4 обозначается как y'. Мы находим производную по правилу дифференцирования:

   y' = 3x² + 6x.

2. Определить критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек решим уравнение:

   3x² + 6x = 0.

   Факторизуем:

   3x(x + 2) = 0.

   Таким образом, критические точки: x = 0 и x = -2.

3. Определить знаки производной на интервалах.

   Теперь мы определим знаки производной на промежутках, которые образуются критическими точками: (-∞, -2), (-2, 0) и (0, +∞).

   • Для интервала (-∞, -2):

     Выберем точку, например, x = -3:

     y'(-3) = 3(-3)² + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0.

     Следовательно, функция возрастает на интервале (-∞, -2).

   • Для интервала (-2, 0):

     Выберем точку, например, x = -1:

     y'(-1) = 3(-1)² + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0.

     Следовательно, функция убывает на интервале (-2, 0).

   • Для интервала (0, +∞):

     Выберем точку, например, x = 1:

     y'(1) = 3(1)² + 6(1) = 3 + 6 = 9 > 0.

     Следовательно, функция возрастает на интервале (0, +∞).

4. Сделать вывод.

   Функция y = x³ + 3x² - 4:

   • возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, +∞);
   • убывает на интервале (-2, 0).