Чтобы определить промежутки, на которых функция F(x) = x^3 - 18x возрастает или убывает, а также найти её экстремумы, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Производная функции F(x) показывает скорость изменения функции и позволяет определить, где функция возрастает или убывает. Для функции F(x) = x^3 - 18x производная будет:
   • F'(x) = 3x^2 - 18.
2. Найти критические точки. Критические точки находятся путем приравнивания производной к нулю и решения получившегося уравнения:
   • 3x^2 - 18 = 0.
   • Решим уравнение: 3x^2 = 18.
   • x^2 = 6.
   • x = ±√6.
   Таким образом, критические точки: x = √6 и x = -√6.
3. Проверить знак производной на промежутках между критическими точками. Это поможет определить, где функция возрастает, а где убывает:
   • Выберем точки из каждого промежутка: например, x = -3, x = 0 и x = 3.
   • Проверим знак производной в этих точках:
     • Для x = -3: F'(-3) = 3(-3)^2 - 18 = 27 - 18 = 9 (положительный).
     • Для x = 0: F'(0) = 3(0)^2 - 18 = -18 (отрицательный).
     • Для x = 3: F'(3) = 3(3)^2 - 18 = 27 - 18 = 9 (положительный).
4. Определить промежутки возрастания и убывания:
   • Функция возрастает на промежутках: (-∞, -√6) и (√6, ∞), так как производная положительна.
   • Функция убывает на промежутке: (-√6, √6), так как производная отрицательна.
5. Найти экстремумы функции. Экстремумы находятся в критических точках, где производная меняет знак:
   • В точке x = -√6 производная меняется с положительной на отрицательную, следовательно, это точка максимума.
   • В точке x = √6 производная меняется с отрицательной на положительную, следовательно, это точка минимума.
   • Найдем значения функции в этих точках:
     • F(-√6) = (-√6)^3 - 18(-√6) = -6√6 + 18√6 = 12√6.
     • F(√6) = (√6)^3 - 18(√6) = 6√6 - 18√6 = -12√6.

Таким образом, функция имеет максимум в точке x = -√6 с значением F(-√6) = 12√6 и минимум в точке x = √6 с значением F(√6) = -12√6.