Как наиболее рационально решить уравнение: sin(2x) + 5(sin(x) + cos(x)) = -1?

Алгебра 11 класс Решение тригонометрических уравнений решение уравнения алгебра 11 класс sin(2x) sin(x) cos(x) рациональные методы тригонометрические уравнения математические методы Новый

Для решения уравнения sin(2x) + 5(sin(x) + cos(x)) = -1 мы начнем с упрощения и приведения его к более удобной форме.

1. Используем формулу двойного угла для синуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

   2sin(x)cos(x) + 5(sin(x) + cos(x)) = -1

2. Теперь раскроем скобки:

   2sin(x)cos(x) + 5sin(x) + 5cos(x) + 1 = 0

3. Перепишем уравнение:

   2sin(x)cos(x) + 5sin(x) + 5cos(x) + 1 = 0

4. Теперь мы можем сгруппировать слагаемые:

   2sin(x)cos(x) + 5(sin(x) + cos(x)) + 1 = 0

5. Мы видим, что у нас есть два тригонометрических выражения: sin(x) и cos(x). Для упрощения удобно использовать замену:

   t = sin(x) + cos(x)

   Тогда, используя известное соотношение sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы можем выразить sin(x)cos(x) через t.

6. Теперь мы можем выразить sin(x)cos(x) через t:

   sin(x)cos(x) = (t^2 - 1)/2

7. Подставим это в уравнение:

   2((t^2 - 1)/2) + 5t + 1 = 0

   Упростим уравнение:

   t^2 + 5t + 1 = 0

8. Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:

   t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 5, c = 1.

   Подставим значения:

   t = (-5 ± √(25 - 4)) / 2 = (-5 ± √21) / 2

9. Теперь у нас есть два значения для t:

   • t1 = (-5 + √21) / 2
   • t2 = (-5 - √21) / 2

10. Теперь вернемся к sin(x) + cos(x) = t. Мы можем найти sin(x) и cos(x) через t:

    sin(x) = (t ± √(1 - t^2)) / √2

    cos(x) = (t ∓ √(1 - t^2)) / √2

11. Теперь решим для каждого значения t и найдем соответствующие значения x.

Таким образом, мы можем найти все возможные решения уравнения. Не забудьте проверить, что полученные значения sin(x) и cos(x) находятся в диапазоне от -1 до 1, так как это ограничение для тригонометрических функций.