Чтобы найти целые отрицательные решения неравенства 1/(x-5)² + 2/(x²-25) - 3/(x²-5x) < 0, начнем с упрощения выражения.

Во-первых, заметим, что x² - 25 можно разложить на множители:

• x² - 25 = (x - 5)(x + 5)

Таким образом, 2/(x² - 25) можно переписать как:

• 2/(x - 5)(x + 5)

Теперь рассмотрим x² - 5x, который также можно разложить:

• x² - 5x = x(x - 5)

Следовательно, -3/(x² - 5x) можно записать как:

• -3/(x(x - 5))

Теперь подставим эти выражения в исходное неравенство:

1/(x - 5)² + 2/((x - 5)(x + 5)) - 3/(x(x - 5)) < 0

Объединим все дроби. Для этого найдем общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен (x - 5)²(x + 5)x.

Теперь перепишем каждую дробь с общим знаменателем:

• 1/(x - 5)² = (x + 5)x / (x - 5)²(x + 5)x
• 2/((x - 5)(x + 5)) = 2(x - 5)x / (x - 5)²(x + 5)x
• -3/(x(x - 5)) = -3(x - 5)² / (x - 5)²(x + 5)x

Теперь сложим все части:

((x + 5)x + 2(x - 5)x - 3(x - 5)²) / ((x - 5)²(x + 5)x) < 0

Теперь упростим числитель:

• Числитель: (x² + 5x + 2x² - 10x - 3(x² - 10x + 25))
• Объединим подобные: (x² + 5x + 2x² - 10x - 3x² + 30x - 75)
• Это будет: (x² + 25x - 75)

Итак, мы получили неравенство:

(x² + 25x - 75) / ((x - 5)²(x + 5)x) < 0

Теперь нам нужно решить это неравенство. Для этого найдем корни числителя:

• Используем формулу для решения квадратного уравнения: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• где a = 1, b = 25, c = -75.

Сначала найдем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 25² - 4 * 1 * (-75) = 625 + 300 = 925

Теперь найдём корни:

• x1 = (-25 + √925) / 2 ≈ 2.62
• x2 = (-25 - √925) / 2 ≈ -27.62

Теперь определим промежутки, на которых функция меняет знак. Для этого исследуем знак числителя и знаменателя:

Знаменатель равен нулю при:

• x = 5 (разделяет на промежутки),
• x = -5,
• x = 0.

Теперь мы можем провести анализ знаков:

• На интервале (-∞, -27.62) - знак положительный.
• На интервале (-27.62, -5) - знак отрицательный.
• На интервале (-5, 0) - знак положительный.
• На интервале (0, 5) - знак отрицательный.
• На интервале (5, +∞) - знак положительный.

Итак, неравенство (x² + 25x - 75) / ((x - 5)²(x + 5)x) < 0 выполняется на интервалах:

• (-27.62, -5) и (0, 5).

Теперь мы ищем целые отрицательные решения. В интервале (-27.62, -5) целые числа:

• -27, -26, -25, -24, -23, -22, -21, -20, -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6.

Таким образом, целые отрицательные решения неравенства:

• -27, -26, -25, -24, -23, -22, -21, -20, -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6.