Как найти интеграл (2sin^2(x/2)dx) с нижним пределом 0 и верхним пределом П? Пожалуйста, распишите, как сделать первообразную.

Алгебра 11 класс Интегралы интеграл 2sin^2(x/2) первообразная алгебра 11 класс нижний предел 0 верхний предел П нахождение интеграла Новый

Для нахождения определенного интеграла функции 2sin²(x/2) от 0 до π, сначала нам нужно найти первообразную этой функции. Давайте разберем шаги решения.

Шаг 1: Упрощение функции

Мы можем использовать тригонометрическую формулу для упрощения sin²(x/2). Напомним, что:

• sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

В нашем случае a = x/2, поэтому:

• sin²(x/2) = (1 - cos(x)) / 2

Тогда:

• 2sin²(x/2) = 2 * (1 - cos(x)) / 2 = 1 - cos(x)

Шаг 2: Находим первообразную

Теперь мы можем интегрировать функцию 1 - cos(x):

• ∫(1 - cos(x))dx = ∫1dx - ∫cos(x)dx
• ∫1dx = x
• ∫cos(x)dx = sin(x)

Следовательно:

• ∫(1 - cos(x))dx = x - sin(x) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 3: Находим определенный интеграл

Теперь, когда мы нашли первообразную, можем вычислить определенный интеграл от 0 до π:

• ∫(2sin²(x/2))dx от 0 до π = [x - sin(x)] от 0 до π

Теперь подставим пределы:

• Подставляем верхний предел (π):
• (π - sin(π)) = π - 0 = π
• Подставляем нижний предел (0):
• (0 - sin(0)) = 0 - 0 = 0

Шаг 4: Вычисляем результат

Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

• π - 0 = π

Таким образом, значение определенного интеграла ∫(2sin²(x/2)dx) от 0 до π равно π.