Как найти определенный интеграл x * arctg x dx с пределами интегрирования от 0 до 1?

Алгебра 11 класс Интегралы определенный интеграл x * arctg x пределы интегрирования интегрирование от 0 до 1 алгебра математика вычисление интеграла Новый

Чтобы найти определенный интеграл функции f(x) = x * arctg(x) на отрезке [0, 1], нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

Интеграл u dv = u*v - Интеграл v du

Где:

• u - функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
• dv - функция, которую мы выбираем для интегрирования;
• du - производная функции u;
• v - первообразная функции dv.

Теперь давайте выберем:

• u = arctg(x) (тогда du = 1 / (1 + x^2) dx);
• dv = x dx (тогда v = (1/2)x^2).

Теперь подставим это в формулу интегрирования по частям:

Интеграл x * arctg(x) dx = arctg(x) * (1/2)x^2 - Интеграл (1/2)x^2 * (1 / (1 + x^2)) dx

Теперь нам нужно рассчитать интеграл:

Интеграл (1/2)x^2 / (1 + x^2) dx

Этот интеграл можно упростить:

(1/2) * Интеграл x^2 / (1 + x^2) dx = (1/2) * Интеграл (1 + x^2 - 1) / (1 + x^2) dx = (1/2) * Интеграл (1 - 1/(1 + x^2)) dx

Теперь мы можем разбить интеграл на два отдельных интеграла:

(1/2) * (Интеграл 1 dx - Интеграл 1/(1 + x^2) dx)

Первый интеграл равен x, а второй интеграл равен arctg(x). Таким образом, мы получаем:

(1/2) * (x - arctg(x)) + C

Теперь подставим это обратно в нашу формулу интегрирования по частям:

Интеграл x * arctg(x) dx = arctg(x) * (1/2)x^2 - (1/2) * (x - arctg(x)) + C

Теперь упростим выражение:

Интеграл x * arctg(x) dx = (1/2)x^2 * arctg(x) - (1/2)x + (1/2)arctg(x) + C

Теперь мы можем найти определенный интеграл от 0 до 1:

Интеграл от 0 до 1 x * arctg(x) dx = [ (1/2)x^2 * arctg(x) - (1/2)x + (1/2)arctg(x) ] от 0 до 1

Теперь подставим пределы интегрирования:

При x = 1:

• arctg(1) = pi/4;
• Подставляем в выражение: (1/2)(1^2)(pi/4) - (1/2)(1) + (1/2)(pi/4) = (1/2)(pi/4) - (1/2) + (1/2)(pi/4) = (1/2)pi/4 - (1/2) + (1/2)pi/4 = (1/2)pi/2 - (1/2).

При x = 0:

• arctg(0) = 0;
• Подставляем в выражение: (1/2)(0^2)(0) - (1/2)(0) + (1/2)(0) = 0.

Теперь вычтем результаты:

Интеграл от 0 до 1 x * arctg(x) dx = [(1/2)(pi/2 - 1) - 0] = (1/2)(pi/2 - 1).

Таким образом, определенный интеграл x * arctg(x) dx с пределами интегрирования от 0 до 1 равен (1/2)(pi/2 - 1).