Как решить интеграл sin^2x*cos^4x*dx?

Алгебра 11 класс Интегралы решение интеграла интеграл sin^2x*cos^4x алгебра математика методы интегрирования Новый

Чтобы решить интеграл ∫ sin²(x) * cos⁴(x) dx, мы можем использовать тригонометрические тождества и замену переменных. Давайте рассмотрим шаги решения более подробно.

1. Для начала, мы можем использовать тождество sin²(x) = 1 - cos²(x). Это поможет нам выразить интеграл через одну тригонометрическую функцию:

   ∫ sin²(x) * cos⁴(x) dx = ∫ (1 - cos²(x)) * cos⁴(x) dx

2. Раскроем скобки:

   ∫ (1 * cos⁴(x) - cos²(x) * cos⁴(x)) dx = ∫ (cos⁴(x) - cos⁶(x)) dx

3. Теперь у нас есть два отдельных интеграла:

   ∫ cos⁴(x) dx - ∫ cos⁶(x) dx

4. Для вычисления этих интегралов мы можем использовать метод интегрирования по частям или тригонометрические подстановки. Однако, проще всего использовать формулы для интегралов:

   • ∫ cos²(x) dx = (1/2)(x + sin(x)cos(x)) + C
   • ∫ cos⁴(x) dx = (3/8)x + (1/4)sin(2x) + (1/8)sin(4x) + C
   • ∫ cos⁶(x) dx = (5/16)x + (3/8)sin(2x) + (3/32)sin(4x) + (1/32)sin(6x) + C

5. Теперь подставим эти результаты в наш интеграл:

   ∫ cos⁴(x) dx - ∫ cos⁶(x) dx = [(3/8)x + (1/4)sin(2x) + (1/8)sin(4x)] - [(5/16)x + (3/8)sin(2x) + (3/32)sin(4x) + (1/32)sin(6x)]

6. Теперь упростим выражение:

   • Соберем подобные члены для x:

   (3/8)x - (5/16)x = (6/16)x - (5/16)x = (1/16)x

   • Соберем подобные члены для sin(2x):

   (1/4)sin(2x) - (3/8)sin(2x) = (2/8)sin(2x) - (3/8)sin(2x) = (-1/8)sin(2x)

   • Соберем подобные члены для sin(4x):

   (1/8)sin(4x) - (3/32)sin(4x) = (4/32)sin(4x) - (3/32)sin(4x) = (1/32)sin(4x)

   • sin(6x) остается без изменений.

7. Таким образом, окончательный ответ будет выглядеть так:

   ∫ sin²(x) * cos⁴(x) dx = (1/16)x - (1/8)sin(2x) + (1/32)sin(4x) - (1/32)sin(6x) + C

Где C - произвольная константа интегрирования. Это решение интеграла sin²(x) * cos⁴(x) dx.