Как найти интеграл от 0 до ln 2 от e^x dx и интеграл от 1 до 4 от (корень x + 1)/(x + 1) dx?

Алгебра 11 класс Интегралы интеграл от 0 до ln 2 интеграл от 1 до 4 e^x dx (корень x + 1)/(x + 1) dx Новый

Для нахождения интегралов, давайте рассмотрим каждый из них по отдельности.

1. Интеграл от 0 до ln 2 от e^x dx:

1. Сначала найдем неопределенный интеграл функции e^x. Это делается просто, так как интеграл e^x равен e^x + C, где C - произвольная константа.
2. Теперь применим пределы интегрирования от 0 до ln 2. Мы подставим верхний предел и нижний предел в найденный интеграл:
3. Подставляем верхний предел:
• e^(ln 2) = 2 (так как e и ln - взаимно обратные функции).
4. Подставляем нижний предел:
• e^0 = 1.
5. Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:
• 2 - 1 = 1.

Таким образом, интеграл от 0 до ln 2 от e^x dx равен 1.

2. Интеграл от 1 до 4 от (корень x + 1)/(x + 1) dx:

1. Сначала упростим подынтегральное выражение (корень x + 1)/(x + 1). Мы можем разложить это выражение на две части:
• (корень x)/(x + 1) + 1/(x + 1).
2. Теперь мы можем найти интеграл от каждой из этих частей.
3. Первый интеграл: интеграл от (корень x)/(x + 1) dx. Это выражение можно оценить с помощью подстановки или таблицы интегралов, но проще использовать численные методы или графический калькулятор для нахождения интеграла.
4. Второй интеграл: интеграл от 1/(x + 1) dx равен ln |x + 1| + C.
5. Теперь применим пределы интегрирования от 1 до 4 к каждому из интегралов:
• Для первого интеграла, используя численные методы, получаем значение I1.
• Для второго интеграла: подставляем пределы:
• ln(4 + 1) - ln(1 + 1) = ln(5) - ln(2) = ln(5/2).
6. Теперь складываем результаты обоих интегралов:
• Результат интеграла от 1 до 4 от (корень x + 1)/(x + 1) dx = I1 + ln(5/2).

Таким образом, для второго интеграла вам нужно будет найти значение I1, которое можно оценить численно.

Итог:

• Интеграл от 0 до ln 2 от e^x dx = 1.
• Интеграл от 1 до 4 от (корень x + 1)/(x + 1) dx = I1 + ln(5/2), где I1 - значение первого интеграла.