Как найти площадь области, ограниченной графиками функций y=x^2 +1, y=0, а также вертикальными линиями x=-1 и x=2?

Алгебра 11 класс Интегралы площадь области графики функций y=x^2 +1 y=0 вертикальные линии x=-1 x=2 алгебра 11 класс интегралы определенный интеграл нахождение площади Новый

Чтобы найти площадь области, ограниченной графиками функций y = x^2 + 1, y = 0 и вертикальными линиями x = -1 и x = 2, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Построим графики функций

Сначала мы должны понять, как выглядят графики функций:

• График функции y = x^2 + 1 - это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (0, 1).
• График функции y = 0 - это ось абсцисс.

Шаг 2: Найдем точки пересечения

Чтобы найти область, ограниченную графиками, нам нужно определить, где графики пересекаются. У нас есть функция y = x^2 + 1 и y = 0. Решим уравнение:

1. x^2 + 1 = 0.
2. Это уравнение не имеет действительных корней, потому что x^2 = -1 не имеет решений в действительных числах.

Это значит, что график функции y = x^2 + 1 всегда находится выше оси x.

Шаг 3: Определим границы интегрирования

Теперь мы знаем, что область ограничена вертикальными линиями x = -1 и x = 2. Эти линии будут нашими границами интегрирования.

Шаг 4: Запишем интеграл для площади

Площадь области S можно найти с помощью определенного интеграла:

S = ∫ (y верх - y низ) dx от x = -1 до x = 2.

В нашем случае y верх = x^2 + 1, а y низ = 0, поэтому:

S = ∫ (x^2 + 1) dx от -1 до 2.

Шаг 5: Вычислим интеграл

Теперь вычислим интеграл:

1. Найдём первообразную функции x^2 + 1:
2. Первообразная x^2 = (1/3)x^3, а первообразная 1 = x.
3. Таким образом, ∫ (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x.

Шаг 6: Подставим границы интегрирования

Теперь подставим границы интегрирования:

S = [(1/3)(2^3) + 2] - [(1/3)(-1^3) + (-1)].

Посчитаем:

• Для x = 2: (1/3)(8) + 2 = (8/3) + 2 = (8/3) + (6/3) = (14/3).
• Для x = -1: (1/3)(-1) - 1 = (-1/3) - 1 = (-1/3) - (3/3) = (-4/3).

Теперь подставим значения:

S = (14/3) - (-4/3) = (14/3) + (4/3) = (18/3) = 6.

Ответ:

Площадь области, ограниченной графиками функций y = x^2 + 1, y = 0 и вертикальными линиями x = -1 и x = 2, равна 6.