Как найти производную функции y=ctg^4(2x-1)?

Алгебра 11 класс Производная функции производная функция y=ctg^4(2x-1) алгебра 11 класс математический анализ тригонометрические функции производная ctg правила дифференцирования высшая математика Новый

Для того чтобы найти производную функции y = ctg^4(2x - 1), нам нужно использовать правило дифференцирования сложных функций и правила для производной функции степени. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. Определим функцию: У нас есть функция y = ctg^4(2x - 1), где ctg обозначает котангенс.
2. Применим правило производной для функции степени: Если у нас есть функция вида u^n, то ее производная будет равна n*u^(n-1)*u', где u - это наша внутренняя функция (в данном случае ctg(2x - 1)), а n - это степень (в нашем случае 4).
3. Найдем производную внутренней функции: Нам нужно также найти производную от u = ctg(2x - 1). Производная котангенса можно выразить как (ctg(x))' = -csc^2(x). Таким образом, используя цепное правило, мы получаем:
   • (ctg(2x - 1))' = -csc^2(2x - 1) * (2x - 1)'.
4. Найдем производную (2x - 1)': Производная от 2x - 1 равна 2.
5. Соберем все вместе: Теперь мы можем выразить производную y':
   • y' = 4 * ctg^3(2x - 1) * (ctg(2x - 1))' = 4 * ctg^3(2x - 1) * (-csc^2(2x - 1) * 2).
6. Упростим выражение: Это можно упростить до:
   • y' = -8 * ctg^3(2x - 1) * csc^2(2x - 1).

Таким образом, производная функции y = ctg^4(2x - 1) равна y' = -8 * ctg^3(2x - 1) * csc^2(2x - 1).