Как найти производную функции Y=(х^2 -1)/(х^2 + 1)?

Алгебра 11 класс Производная функции производная функции алгебра нахождение производной Y=(х^2 -1)/(х^2 + 1) математика Новый

Привет! Давай разберемся, как найти производную функции Y = (x² - 1) / (x² + 1). Это будет увлекательное путешествие в мир производных!

Для начала, нам нужно использовать правило дифференцирования дроби, которое называется правилом Лейбница. Оно звучит так:

• Если у нас есть функция в виде дроби u/v, то производная этой функции равна:

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

Теперь давай определим u и v:

• u = x² - 1
• v = x² + 1

Теперь найдем производные u и v:

• u' = 2x
• v' = 2x

Теперь подставим все это в формулу:

Y' = (u'v - uv') / v²

Подставляем наши значения:

Y' = (2x * (x² + 1) - (x² - 1) * 2x) / (x² + 1)²

Теперь упростим числитель:

• 2x * (x² + 1) = 2x³ + 2x
• (x² - 1) * 2x = 2x³ - 2x

Теперь подставим это в числитель:

Y' = (2x³ + 2x - (2x³ - 2x)) / (x² + 1)²

Упрощая, получаем:

Y' = (2x + 2x) / (x² + 1)² = 4x / (x² + 1)²

Итак, производная функции Y = (x² - 1) / (x² + 1) равна:

Y' = 4x / (x² + 1)²

Вот и всё! Мы справились с этой задачей! Ура!