Как найти решение неравенства (6 - 3x) (x - 4)^2(x + 10,5) ≤ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс неравенства метод решения неравенств график функции анализ знаков корни неравенства Новый

Чтобы решить неравенство (6 - 3x)(x - 4)²(x + 10,5) ≤ 0, следуем пошагово:

1. Найдем корни уравнения:

Сначала определим, при каких значениях x выражение равно нулю. Для этого решим уравнение:

• 6 - 3x = 0
• (x - 4)² = 0
• x + 10,5 = 0

Решим каждое из уравнений:

1. 6 - 3x = 0:
   3x = 6
   x = 2.
2. (x - 4)² = 0:
   x - 4 = 0
   x = 4. (Этот корень имеет кратность 2, так как квадрат.)
3. x + 10,5 = 0:
   x = -10,5.

2. Запишем все корни:

Корни уравнения: x = -10,5; x = 2; x = 4 (кратность 2).

3. Построим числовую прямую:

Теперь отметим найденные корни на числовой прямой:

• -10,5
• 2
• 4

4. Определим интервалы:

Корни делят числовую прямую на следующие интервалы:

• (-∞, -10,5)
• (-10,5, 2)
• (2, 4)
• (4, +∞)

5. Проверим знаки на каждом интервале:

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение (6 - 3x)(x - 4)²(x + 10,5):

1. Для интервала (-∞, -10,5), например, x = -11:
   (6 - 3*(-11))( -11 - 4)²(-11 + 10,5) = (6 + 33)(-15)²(-0,5) > 0.
2. Для интервала (-10,5, 2), например, x = 0:
   (6 - 3*0)(0 - 4)²(0 + 10,5) = (6)(16)(10,5) > 0.
3. Для интервала (2, 4), например, x = 3:
   (6 - 3*3)(3 - 4)²(3 + 10,5) = (6 - 9)(-1)²(13,5) < 0.
4. Для интервала (4, +∞), например, x = 5:
   (6 - 3*5)(5 - 4)²(5 + 10,5) = (6 - 15)(1)(15,5) < 0.

6. Составим итог:

Теперь подведем итоги:

• (-∞, -10,5) > 0
• (-10,5, 2) > 0
• (2, 4) < 0
• (4, +∞) < 0

7. Запишем решение неравенства:

Неравенство (6 - 3x)(x - 4)²(x + 10,5) ≤ 0 выполняется на интервалах:

• (2, 4) включительно, так как в точках 2 и 4 выражение равно нулю.
• И на интервале (4, +∞) также включительно, так как в точке 4 выражение равно нулю.

Итак, окончательное решение:

x ∈ [2, 4] ∪ (4, +∞).