Как найти решение неравенства 7 - 6x - x^2 ≥ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства второй степени решение неравенства неравенство 7 - 6x - x^2 алгебра 11 класс методы решения неравенств график функции корни неравенства Новый

Чтобы решить неравенство 7 - 6x - x² ≥ 0, начнем с приведения его к стандартному виду. Для этого мы можем переписать неравенство следующим образом:

-x² - 6x + 7 ≥ 0

Теперь умножим обе части неравенства на -1, помня, что при этом знак неравенства изменится:

x² + 6x - 7 ≤ 0

Теперь нам нужно найти корни квадратного уравнения x² + 6x - 7 = 0. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 6, c = -7. Подставим эти значения в формулу:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64
• Корни уравнения:
• x₁ = (-6 + √64) / (2 * 1) = (-6 + 8) / 2 = 2 / 2 = 1
• x₂ = (-6 - √64) / (2 * 1) = (-6 - 8) / 2 = -14 / 2 = -7

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 1 и x₂ = -7.

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители:

(x + 7)(x - 1) ≤ 0

Теперь определим промежутки, на которых это неравенство выполняется. Для этого рассмотрим знаки произведения (x + 7)(x - 1) на интервалах, определяемых корнями:

• Интервал 1: (-∞, -7)
• Интервал 2: (-7, 1)
• Интервал 3: (1, +∞)

Теперь проверим знак произведения на каждом из интервалов:

• На интервале (-∞, -7): выберем, например, x = -8. Тогда (-8 + 7)(-8 - 1) = (-1)(-9) > 0.
• На интервале (-7, 1): выберем, например, x = 0. Тогда (0 + 7)(0 - 1) = (7)(-1) < 0.
• На интервале (1, +∞): выберем, например, x = 2. Тогда (2 + 7)(2 - 1) = (9)(1) > 0.

Таким образом, неравенство (x + 7)(x - 1) ≤ 0 выполняется на интервале:

[-7, 1]

Не забываем, что мы включаем границы, так как в исходном неравенстве стоит знак "больше или равно".

Итак, окончательный ответ:

Решение неравенства: x ∈ [-7, 1]