Как найти решение неравенства (n² + 9)(n² - 8) < 0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс неравенство (n² + 9)(n² - 8) < 0 методы решения неравенств график функции анализ знаков математический анализ Новый

Для решения неравенства (n² + 9)(n² - 8) < 0, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем нули каждого множителя.

• Первый множитель: n² + 9. Это выражение всегда положительно, так как n² всегда неотрицательно, а 9 - положительное число. Таким образом, нуля у этого множителя нет.
• Второй множитель: n² - 8. Найдем, при каких значениях n это выражение равно нулю:
1. n² - 8 = 0
2. n² = 8
3. n = ±√8 = ±2√2

Шаг 2: Определим интервалы.

Теперь, когда мы знаем, что нули второго множителя находятся в точках n = -2√2 и n = 2√2, мы можем разбить числовую ось на интервалы:

• (-∞, -2√2)
• (-2√2, 2√2)
• (2√2, +∞)

Шаг 3: Проверим знак произведения на каждом интервале.

Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в выражение (n² + 9)(n² - 8) для определения знака:

• Для интервала (-∞, -2√2): выберем n = -3.
• (-3)² + 9 = 9 + 9 = 18 > 0
• (-3)² - 8 = 9 - 8 = 1 > 0
• Произведение: 18 * 1 > 0
• Для интервала (-2√2, 2√2): выберем n = 0.
• (0)² + 9 = 0 + 9 = 9 > 0
• (0)² - 8 = 0 - 8 = -8 < 0
• Произведение: 9 * (-8) < 0
• Для интервала (2√2, +∞): выберем n = 3.
• (3)² + 9 = 9 + 9 = 18 > 0
• (3)² - 8 = 9 - 8 = 1 > 0
• Произведение: 18 * 1 > 0

Шаг 4: Записываем решение.

Мы видим, что произведение (n² + 9)(n² - 8) < 0 только на интервале (-2√2, 2√2). Таким образом, решение неравенства:

n ∈ (-2√2, 2√2)