Как найти решение неравенства (x^2 - 4) / (2x + 1) < 0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства неравенство с дробями алгебра 11 класс x^2 - 4 2x + 1 методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство (x^2 - 4) / (2x + 1) < 0, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

• Числитель: x^2 - 4 = 0. Это квадратное уравнение можно разложить на множители:
• (x - 2)(x + 2) = 0.
• Таким образом, нули числителя: x = 2 и x = -2.
• Знаменатель: 2x + 1 = 0. Найдем его нуль:
• 2x = -1, следовательно, x = -1/2.

Шаг 2: Определим промежутки.

Теперь у нас есть три критических точки: x = -2, x = -1/2 и x = 2. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка:

• (-∞, -2)
• (-2, -1/2)
• (-1/2, 2)
• (2, +∞)

Шаг 3: Проверим знак функции в каждом промежутке.

Для этого выберем по одному тестовому значению из каждого промежутка и подставим его в выражение (x^2 - 4) / (2x + 1):

• Для промежутка (-∞, -2), выберем x = -3:
• (-3^2 - 4) / (2*(-3) + 1) = (9 - 4) / (-6 + 1) = 5 / -5 = -1 < 0.
• Для промежутка (-2, -1/2), выберем x = -1:
• (-1^2 - 4) / (2*(-1) + 1) = (1 - 4) / (-2 + 1) = -3 / -1 = 3 > 0.
• Для промежутка (-1/2, 2), выберем x = 0:
• (0^2 - 4) / (2*0 + 1) = (-4) / 1 = -4 < 0.
• Для промежутка (2, +∞), выберем x = 3:
• (3^2 - 4) / (2*3 + 1) = (9 - 4) / (6 + 1) = 5 / 7 > 0.

Шаг 4: Подводим итоги.

Теперь мы можем записать, где функция меньше нуля:

• (-∞, -2) и (-1/2, 2).

Неравенство строгое, поэтому точки -2 и -1/2 не включаются в решение.

Ответ:

Решение неравенства (x^2 - 4) / (2x + 1) < 0: x ∈ (-∞, -2) ∪ (-1/2, 2).