Как найти решение неравенства | x²+x-1 |<1?

Алгебра 11 класс Неравенства с модулями решение неравенства алгебра 11 класс модульное неравенство |x²+x-1|<1 методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство |x² + x - 1| < 1, давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Уберем модуль

Неравенство |A| < B можно переписать как -B < A < B. В нашем случае A = x² + x - 1 и B = 1. Таким образом, мы можем записать:

• -1 < x² + x - 1 < 1

Шаг 2: Разделим на два неравенства

Теперь мы можем разбить это на два отдельных неравенства:

• x² + x - 1 > -1
• x² + x - 1 < 1

Шаг 3: Решим первое неравенство

Решим первое неравенство:

• x² + x - 1 > -1
• x² + x > 0
• x(x + 1) > 0

Теперь найдем корни уравнения x(x + 1) = 0, которые равны x = 0 и x = -1. Это делит числовую ось на три промежутка:

• x < -1
• -1 < x < 0
• x > 0

Теперь проверим знак на каждом из этих промежутков:

• Для x < -1 (например, x = -2): (-2)(-2 + 1) = (-2)(-1) > 0
• Для -1 < x < 0 (например, x = -0.5): (-0.5)(-0.5 + 1) = (-0.5)(0.5) < 0
• Для x > 0 (например, x = 1): (1)(1 + 1) = (1)(2) > 0

Таким образом, решение первого неравенства: x < -1 или x > 0.

Шаг 4: Решим второе неравенство

Теперь решим второе неравенство:

• x² + x - 1 < 1
• x² + x - 2 < 0
• (x - 1)(x + 2) < 0

Находим корни уравнения (x - 1)(x + 2) = 0, которые равны x = 1 и x = -2. Это также делит числовую ось на три промежутка:

• x < -2
• -2 < x < 1
• x > 1

Теперь проверим знак на каждом из этих промежутков:

• Для x < -2 (например, x = -3): (-3 - 1)(-3 + 2) = (-4)(-1) > 0
• Для -2 < x < 1 (например, x = 0): (0 - 1)(0 + 2) = (-1)(2) < 0
• Для x > 1 (например, x = 2): (2 - 1)(2 + 2) = (1)(4) > 0

Таким образом, решение второго неравенства: -2 < x < 1.

Шаг 5: Объединим решения

Теперь нам нужно объединить решения двух неравенств:

• Первое неравенство: x < -1 или x > 0
• Второе неравенство: -2 < x < 1

Объединяя эти решения, мы получаем:

• -2 < x < -1
• 0 < x < 1

Ответ:

Решение неравенства |x² + x - 1| < 1: (-2, -1) U (0, 1).