Как найти решение уравнения (2^2x+16)^20=(10*2^x)^20?

Алгебра 11 класс Уравнения с показателями решение уравнения алгебра 11 класс уравнение с экспонентами 2^2x 10*2^x методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения (2^(2x) + 16)^20 = (10 * 2^x)^20 мы начнем с удаления степени 20 с обеих сторон уравнения. Это можно сделать, так как 20 является положительным числом и не влияет на равенство. Таким образом, мы получаем:

(2^(2x) + 16) = (10 * 2^x)

Теперь упростим обе стороны уравнения:

Слева у нас выражение 2^(2x) + 16, а справа 10 * 2^x.

Теперь мы можем выразить 2^(2x) через 2^x. Напомним, что 2^(2x) = (2^x)^2. Обозначим 2^x как y. Тогда у нас получится:

y^2 + 16 = 10y

Теперь мы можем привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

y^2 - 10y + 16 = 0

Теперь мы решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D рассчитывается по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -10, c = 16:

• D = (-10)^2 - 4 * 1 * 16
• D = 100 - 64
• D = 36

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

Теперь находим корни по формуле:

y1,2 = (-b ± √D) / (2a)

• y1 = (10 + √36) / 2 = (10 + 6) / 2 = 16 / 2 = 8
• y2 = (10 - √36) / 2 = (10 - 6) / 2 = 4 / 2 = 2

Теперь мы вернемся к переменной y, которая равна 2^x:

Итак, у нас есть два значения:

• 2^x = 8
• 2^x = 2

Теперь решим каждое из этих уравнений:

• 2^x = 8 => x = 3 (потому что 2^3 = 8)
• 2^x = 2 => x = 1 (потому что 2^1 = 2)

Таким образом, мы получили два решения уравнения:

x = 3 и x = 1