Похожие вопросы
2025-02-06 08:43:05
Как найти решение уравнения √(2+x) + √(2-x) = x² - 2?
Алгебра 11 класс Уравнения с корнями решение уравнения алгебра 11 класс √(2+x) √(2-x) x² - 2 методы решения уравнений квадратные корни алгебраические уравнения
2025-02-06 08:43:15
Для решения уравнения √(2+x) + √(2-x) = x² - 2, давайте следовать шаг за шагом.
Шаг 1: Определим область допустимых значений.Сначала нужно убедиться, что подкоренные выражения не отрицательны. Для этого мы должны решить следующие неравенства:
- 2 + x ≥ 0 → x ≥ -2
- 2 - x ≥ 0 → x ≤ 2
Таким образом, область допустимых значений для x: -2 ≤ x ≤ 2.
Шаг 2: Изолируем один из корней.Перепишем уравнение, чтобы изолировать один из корней.
√(2+x) = x² - 2 - √(2-x)
Шаг 3: Возводим обе стороны в квадрат.Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(√(2+x))² = (x² - 2 - √(2-x))²
2 + x = (x² - 2)² - 2(x² - 2)√(2-x) + (2-x)
Шаг 4: Упрощаем уравнение.Теперь упростим правую часть:
2 + x = (x² - 2)² + 2 - x - 2(x² - 2)√(2-x)
После упрощения получаем:
2 + x = x^4 - 4x² + 4 + 2 - x - 2(x² - 2)√(2-x)
Шаг 5: Переносим все в одну сторону.Переносим все в одну сторону уравнения:
0 = x^4 - 4x² - x + 4 - 2 - (x + 2)√(2-x)
Шаг 6: Возвращаемся к исходному уравнению.На этом этапе проще будет вернуться к исходному уравнению и попробовать подставить значения из области допустимых значений.
Шаг 7: Подбор значений.Проверим целые значения из области -2 ≤ x ≤ 2:
- Для x = -2: √(2 - 2) + √(2 + 2) = 0 + 2 = 2; (-2)² - 2 = 4 - 2 = 2. Уравнение выполняется.
- Для x = 0: √(2 + 0) + √(2 - 0) = √2 + √2 = 2√2; 0² - 2 = -2. Не выполняется.
- Для x = 1: √(2 + 1) + √(2 - 1) = √3 + 1; 1² - 2 = -1. Не выполняется.
- Для x = 2: √(2 + 2) + √(2 - 2) = 2 + 0 = 2; 2² - 2 = 2. Уравнение выполняется.
Таким образом, решения уравнения: x = -2 и x = 2.
