Как найти решение уравнения (2sin^2x-5sinx+2)-log12(cosx)=0?

Алгебра 11 класс Решение тригонометрических уравнений решение уравнения алгебра 11 класс синус косинус логарифм Тригонометрия уравнения с логарифмами Новый

Для решения уравнения (2sin²x - 5sinx + 2) - log₁₂(cosx) = 0, давайте разделим решение на несколько шагов.

Шаг 1: Перепишем уравнение

Мы можем переписать уравнение в более удобной форме:

2sin²x - 5sinx + 2 = log₁₂(cosx)

Шаг 2: Определим область определения

• Функция log₁₂(cosx) определена только для значений cosx > 0, что означает, что x должен находиться в интервале, где cosx положителен.
• Это происходит в интервалах: (2kπ - π/2, 2kπ + π/2) для всех целых k.

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Рассмотрим левую часть уравнения: 2sin²x - 5sinx + 2 = 0. Это квадратное уравнение относительно sinx. Обозначим sinx = t. Тогда уравнение примет вид:

2t² - 5t + 2 = 0.

Теперь найдем дискриминант D:

D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:

t₁ = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 2,

t₂ = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 0.5.

Шаг 4: Найдем значения x

Теперь вернемся к sinx:

• Для t₁ = 2: sinx = 2. Это значение не допустимо, так как sinx может принимать значения только в диапазоне [-1, 1].
• Для t₂ = 0.5: sinx = 0.5. Это значение допустимо.

Значения x, при которых sinx = 0.5, можно найти так:

• x = π/6 + 2kπ,
• x = 5π/6 + 2kπ,

где k - целое число.

Шаг 5: Учитываем логарифм

Теперь нам нужно проверить, удовлетворяют ли найденные значения x условию cosx > 0.

• Для x = π/6: cos(π/6) = √3/2 > 0, это значение подходит.
• Для x = 5π/6: cos(5π/6) = -√3/2 < 0, это значение не подходит.

Шаг 6: Записываем окончательное решение

Таким образом, решение уравнения (2sin²x - 5sinx + 2) - log₁₂(cosx) = 0:

x = π/6 + 2kπ, где k - целое число.