Как найти решение уравнения 4•2^(2x) - 5•2^x + 1 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с переменной в показателе решение уравнения уравнение 4•2^(2x) 5•2^x алгебра 11 класс методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 4•2^(2x) - 5•2^x + 1 = 0, давайте начнем с преобразования его в более удобный вид. Мы заметим, что 2^(2x) можно записать как (2^x)^2. Это позволит нам сделать подстановку и упростить уравнение.

Шаги решения:

1. Подстановка: Обозначим 2^x как y. Таким образом, у нас получится:
• 2^(2x) = (2^x)^2 = y^2.
2. Переписываем уравнение: Заменим 2^(2x) и 2^x в исходном уравнении:
• 4•y^2 - 5•y + 1 = 0.
3. Решаем квадратное уравнение: Теперь у нас есть квадратное уравнение 4y^2 - 5y + 1 = 0. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
• y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),
где a = 4, b = -5, c = 1.
4. Находим дискриминант: Сначала вычислим дискриминант D:
• D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4•4•1 = 25 - 16 = 9.
5. Находим корни: Теперь подставим значения a, b и D в формулу:
• y1 = (5 + √9) / (2•4) = (5 + 3) / 8 = 8 / 8 = 1,
• y2 = (5 - √9) / (2•4) = (5 - 3) / 8 = 2 / 8 = 1/4.
6. Возвращаемся к переменной x: Теперь, когда мы нашли y, возвращаемся к 2^x:
• Для y1 = 1: 2^x = 1 ⇒ x = 0,
• Для y2 = 1/4: 2^x = 1/4 ⇒ 2^x = 2^(-2) ⇒ x = -2.

Ответ: Уравнение 4•2^(2x) - 5•2^x + 1 = 0 имеет два решения: x = 0 и x = -2.