Чтобы решить уравнение cos 2x + 3sin x = 2, начнем с преобразования выражения cos 2x. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность:

• cos 2x = 1 - 2sin^2 x

Подставим это в уравнение:

1 - 2sin^2 x + 3sin x = 2

Теперь упрощаем уравнение:

• 1 - 2sin^2 x + 3sin x - 2 = 0
• -2sin^2 x + 3sin x - 1 = 0

Умножим уравнение на -1 для удобства:

• 2sin^2 x - 3sin x + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно sin x. Используем формулу для решения квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0:

• sin x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 2, b = -3, c = 1:

• sin x = (3 ± √((-3)^2 - 4 * 2 * 1)) / (2 * 2)
• sin x = (3 ± √(9 - 8)) / 4
• sin x = (3 ± 1) / 4

Теперь найдем два возможных значения для sin x:

• sin x = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1
• sin x = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2

Теперь найдем значения x для этих значений sin x:

• Для sin x = 1: x = π/2 + 2kπ (где k - целое число).
• Для sin x = 1/2: x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ.

Теперь определим, какие из этих значений попадают в интервал ]-3π; π]. Для этого подставим k = -2, -1, 0 и 1:

• Для sin x = 1:
• x = π/2 (при k = 0),это значение в интервале.
• x = π/2 + 2(-1)π = π/2 - 2π = -3π/2 (это тоже в интервале).
• Для sin x = 1/2:
• x = π/6 (при k = 0),это значение в интервале.
• x = 5π/6 (при k = 0),это значение в интервале.
• x = π/6 + 2(-1)π = π/6 - 2π = -11π/6 (это не в интервале).
• x = 5π/6 + 2(-1)π = 5π/6 - 2π = -7π/6 (это тоже не в интервале).

Итак, значения x, которые находятся в интервале ]-3π; π], это:

• x = π/2
• x = -3π/2
• x = π/6
• x = 5π/6

Теперь определим наибольшее значение x в этом интервале:

• π/2 ≈ 1.57
• -3π/2 ≈ -4.71
• π/6 ≈ 0.52
• 5π/6 ≈ 2.62

Наибольшее значение из перечисленных равно 5π/6.

Ответ: Наибольшее значение x в интервале ]-3π; π] — это 5π/6.