Как найти решение уравнения (sin ^-1 z + cos^-1 z)(sin z + cos z) + 2 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 11 класс sin^-1 z cos^-1 z тригонометрические функции уравнения с синусом и косинусом Новый

Для решения уравнения (sin ^-1 z + cos^-1 z)(sin z + cos z) + 2 = 0, начнем с анализа его компонентов.

Шаг 1: Упрощение выражения

Сначала заметим, что sin^-1 z + cos^-1 z = π/2 для всех z, находящихся в пределах [-1, 1]. Это свойство арксинуса и арккосинуса. Таким образом, мы можем переписать уравнение:

(π/2)(sin z + cos z) + 2 = 0.

Шаг 2: Переносим 2 в другую сторону

Теперь перенесем 2 на правую сторону уравнения:

(π/2)(sin z + cos z) = -2.

Шаг 3: Делим обе стороны на π/2

Чтобы избавиться от множителя π/2, разделим обе стороны на π/2:

sin z + cos z = -4/π.

Шаг 4: Исследуем значения sin z + cos z

Теперь рассмотрим, какие значения может принимать выражение sin z + cos z. Мы знаем, что:

• Максимальное значение sin z + cos z равно √2, когда z = π/4 + kπ/2 (где k - целое число).
• Минимальное значение sin z + cos z равно -√2, когда z = 5π/4 + kπ/2.

Таким образом, sin z + cos z находится в диапазоне от -√2 до √2.

Шаг 5: Сравнение с -4/π

Теперь нам нужно проверить, может ли sin z + cos z равняться -4/π. Приблизительно, -4/π ≈ -1.273. Поскольку -1.273 > -√2 (где -√2 ≈ -1.414), это значение находится в пределах допустимого диапазона.

Шаг 6: Решение уравнения

Теперь мы можем найти z, когда sin z + cos z = -4/π. Используем тригонометрическую идентичность:

sin z + cos z = √2 * sin(z + π/4).

Таким образом, у нас получается:

√2 * sin(z + π/4) = -4/π.

Теперь найдем sin(z + π/4):

sin(z + π/4) = -4/(π√2).

Шаг 7: Определение возможных значений

Теперь нам нужно найти значения z, которые удовлетворяют этому уравнению. Поскольку -4/(π√2) также находится в диапазоне [-1, 1], мы можем найти z:

z + π/4 = arcsin(-4/(π√2)) + 2kπ, где k - целое число.

Следовательно, z = arcsin(-4/(π√2)) - π/4 + 2kπ.

Шаг 8: Получение окончательного ответа

Таким образом, окончательное решение уравнения (sin ^-1 z + cos^-1 z)(sin z + cos z) + 2 = 0 имеет вид:

z = arcsin(-4/(π√2)) - π/4 + 2kπ, где k - целое число.

На этом этапе мы нашли все возможные значения z, удовлетворяющие данному уравнению. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!