Чтобы найти точки экстремума функции f(x) = 2x³ – 3x² – 12x, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

   Сначала мы находим первую производную функции f'(x). Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении x. Для данной функции:

   f'(x) = d(2x³)/dx - d(3x²)/dx - d(12x)/dx = 6x² - 6x - 12.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы приравниваем первую производную к нулю:

   6x² - 6x - 12 = 0.

   Упростим уравнение, разделив все его части на 6:

   x² - x - 2 = 0.

   Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу корней:

   x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

   Подставляем значения:

   x = [ 1 ± √((-1)² - 4*1*(-2)) ] / (2*1) = [ 1 ± √(1 + 8) ] / 2 = [ 1 ± √9 ] / 2.

   Таким образом, x = (1 + 3) / 2 = 2 и x = (1 - 3) / 2 = -1.

3. Определить вид экстремума.

   Теперь у нас есть критические точки x = 2 и x = -1. Чтобы определить, являются ли они минимумом или максимумом, мы можем использовать вторую производную функции.

   Найдём вторую производную:

   f''(x) = d(6x² - 6x - 12)/dx = 12x - 6.

   Теперь подставим критические точки в f''(x):

   • Для x = 2: f''(2) = 12*2 - 6 = 24 - 6 = 18 (больше 0). Значит, в этой точке у нас минимум.
   • Для x = -1: f''(-1) = 12*(-1) - 6 = -12 - 6 = -18 (меньше 0). Значит, в этой точке у нас максимум.

Вывод: Функция имеет минимум в точке x = 2 и максимум в точке x = -1.