Чтобы найти участки, где функция y = (2x - 4)^3 (x + 1)^2 возрастает и убывает, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции:

   Сначала мы найдем производную функции y по x. Для этого воспользуемся правилом произведения и правилом дифференцирования степенной функции.

   Функция y состоит из двух множителей: (2x - 4)^3 и (x + 1)^2. Обозначим:

   • u = (2x - 4)^3
   • v = (x + 1)^2

   Теперь найдем производные u и v:

   • u' = 3(2x - 4)^2 * 2 = 6(2x - 4)^2
   • v' = 2(x + 1)

   Теперь применим правило произведения:

   y' = u'v + uv' = 6(2x - 4)^2 * (x + 1)^2 + (2x - 4)^3 * 2(x + 1)

2. Найти критические точки:

   Чтобы найти критические точки, приравняем производную y' к нулю:

   6(2x - 4)^2 * (x + 1)^2 + (2x - 4)^3 * 2(x + 1) = 0

   Факторизуем это уравнение:

   • (2x - 4)^2 * (x + 1) * (6(x + 1) + 2(2x - 4)) = 0

   Теперь решим это уравнение:

   • (2x - 4)^2 = 0 → 2x - 4 = 0 → x = 2
   • (x + 1) = 0 → x = -1
   • 6(x + 1) + 2(2x - 4) = 0 → 6x + 6 + 4x - 8 = 0 → 10x - 2 = 0 → x = 0.2

   Таким образом, критические точки: x = 2, x = -1, x = 0.2.

3. Определить знаки производной:

   Теперь мы определим знаки производной y' на интервалах, образованных критическими точками. У нас есть следующие интервалы:

   • (-∞, -1)
   • (-1, 0.2)
   • (0.2, 2)
   • (2, +∞)

   Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в производную:

   • Для x = -2 (интервал (-∞, -1)): y' > 0 (функция возрастает)
   • Для x = -0.5 (интервал (-1, 0.2)): y' < 0 (функция убывает)
   • Для x = 1 (интервал (0.2, 2)): y' < 0 (функция убывает)
   • Для x = 3 (интервал (2, +∞)): y' > 0 (функция возрастает)
4. Сделать вывод:

   На основе анализа знаков производной мы можем сделать вывод о том, что:

   • Функция возрастает на интервалах: (-∞, -1) и (2, +∞)
   • Функция убывает на интервалах: (-1, 0.2) и (0.2, 2)

Таким образом, мы нашли участки, где функция возрастает и убывает.