Чтобы решить неравенство nx^2 + 2(x + 2)x + 2n + 4 < 0 для всех значений x, сначала упростим выражение. Начнем с раскрытия скобок:

• 2(x + 2)x = 2x^2 + 4x.

Теперь подставим это обратно в неравенство:

nx^2 + 2x^2 + 4x + 2n + 4 < 0.

Объединим подобные члены:

(n + 2)x^2 + 4x + (2n + 4) < 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида:

A = n + 2, B = 4, C = 2n + 4.

Чтобы это неравенство было верно для всех значений x, необходимо, чтобы квадратный трёхчлен (n + 2)x^2 + 4x + (2n + 4) был отрицателен для всех x. Это возможно, если:

1. Коэффициент при x^2 (A) должен быть меньше 0: n + 2 < 0.
2. Дискриминант D должен быть меньше 0: D = B^2 - 4AC < 0.

Решим первое неравенство:

• n + 2 < 0
• n < -2.

Теперь решим второе неравенство, вычислим дискриминант:

D = 4^2 - 4(n + 2)(2n + 4).

Упростим это выражение:

• D = 16 - 4[(n + 2)(2n + 4)].
• D = 16 - 4(2n^2 + 4n + 4).
• D = 16 - (8n^2 + 16n + 16).
• D = -8n^2 - 16n + 0.

Теперь установим, что D < 0:

-8n^2 - 16n < 0.

Умножим обе части неравенства на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

8n^2 + 16n > 0.

Вынесем общий множитель:

8n(n + 2) > 0.

Теперь решим это неравенство. У нас есть два корня: n = 0 и n = -2. Построим числовую прямую и определим знаки на интервалах:

• Для n < -2: 8n(n + 2) > 0 (положительное).
• Для -2 < n < 0: 8n(n + 2) < 0 (отрицательное).
• Для n > 0: 8n(n + 2) > 0 (положительное).

Таким образом, неравенство 8n(n + 2) > 0 выполняется для:

• n < -2 и n > 0.

Однако, поскольку мы уже нашли, что n < -2, это условие является нашим основным ограничением. Таким образом, окончательно:

Все значения n, для которых неравенство nx^2 + 2(x + 2)x + 2n + 4 < 0 верно для всех x, это n < -2.