Как найти значение интеграла с верхней границей П/3 и нижней границей 0 для функции sin x / (3 - cos x) dx?

Алгебра 11 класс Интегралы значение интеграла интеграл sin x интеграл с верхней границей интеграл с нижней границей интеграл от функции алгебра 11 класс вычисление интеграла Новый

Чтобы найти значение интеграла от функции sin(x) / (3 - cos(x)) на интервале от 0 до π/3, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Подготовка к интегрированию

Начнем с записи интеграла:

∫ (sin(x) / (3 - cos(x))) dx от 0 до π/3

Шаг 2: Применение подстановки

Для упрощения интеграла воспользуемся подстановкой. Сделаем следующую замену:

• Пусть u = 3 - cos(x)
• Тогда, производная du = sin(x) dx

Таким образом, dx = du / sin(x).

Теперь, нужно найти пределы интегрирования:

• Когда x = 0, u = 3 - cos(0) = 3 - 1 = 2.
• Когда x = π/3, u = 3 - cos(π/3) = 3 - 1/2 = 5/2.

Шаг 3: Замена в интеграле

Теперь подставим u в интеграл:

∫ (1/u) du от 2 до 5/2.

Шаг 4: Интегрирование

Интеграл от 1/u равен ln|u|. Поэтому, мы можем записать:

∫ (1/u) du = ln|u| + C.

Теперь подставим пределы интегрирования:

ln|u| от 2 до 5/2 = ln(5/2) - ln(2).

Шаг 5: Применение свойства логарифмов

Используем свойство логарифмов, что ln(a) - ln(b) = ln(a/b):

ln(5/2) - ln(2) = ln((5/2)/2) = ln(5/4).

Шаг 6: Запись окончательного ответа

Таким образом, значение интеграла:

∫ (sin(x) / (3 - cos(x))) dx от 0 до π/3 = ln(5/4).

Это и есть искомое значение интеграла.