Как найти значение производной функции в указанной точке?

1. а) Для функции y=lnx+x, в точке x0=1/7.
2. б) Для функции y=x^3 * lnx, в точке x0=e.

Алгебра 11 класс Производная функции алгебра производная функции значение производной точка функции математика вычисление производной примеры производных Новый

Давайте разберемся, как найти значение производной функции в указанных точках! Это очень увлекательный процесс, и я уверен, что вам понравится!

а) Для функции y = ln(x) + x в точке x0 = 1/7:

• Сначала найдем производную функции y. Для этого используем правила дифференцирования:
• Производная ln(x) равна 1/x.
• Производная x равна 1.
• Таким образом, производная y будет равна:
y' = 1/x + 1
• Теперь подставим x0 = 1/7 в производную:
y'(1/7) = 1/(1/7) + 1 = 7 + 1 = 8.

б) Для функции y = x^3 * ln(x) в точке x0 = e:

• Здесь нам нужно использовать правило произведения для нахождения производной:
• Если u = x^3 и v = ln(x), то производная y будет равна:
y' = u'v + uv'
• Где:
• u' = 3x^2 (производная x^3)
• v' = 1/x (производная ln(x))
• Теперь подставим значения:
y' = 3x^2 * ln(x) + x^3 * (1/x)
• Упрощаем:
y' = 3x^2 * ln(x) + x^2
• Теперь подставляем x0 = e:
y'(e) = 3e^2 * ln(e) + e^2 = 3e^2 * 1 + e^2 = 3e^2 + e^2 = 4e^2.

Итак, мы нашли значения производных:

• Для функции y = ln(x) + x в точке x0 = 1/7 производная равна 8.
• Для функции y = x^3 * ln(x) в точке x0 = e производная равна 4e^2.

Надеюсь, это было полезно и интересно! Удачи вам в изучении производных и в математике в целом!