Чтобы определить интервалы, где график функции y = x⁴ + 6x³ - 24x² + 9x - 6 является выпуклым или вогнутым, а также найти точки перегиба, нам нужно выполнить несколько шагов. Основной инструмент для этого - вторая производная функции.

Шаг 1: Найдем первую производную функции.

Первая производная функции y = x⁴ + 6x³ - 24x² + 9x - 6 будет:

• y' = 4x³ + 18x² - 48x + 9

Шаг 2: Найдем вторую производную функции.

Теперь найдем вторую производную:

• y'' = 12x² + 36x - 48

Шаг 3: Найдем точки перегиба.

Точки перегиба находятся там, где вторая производная равна нулю. То есть, решим уравнение:

• 12x² + 36x - 48 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать дискриминант:

• D = b² - 4ac = 36² - 4 * 12 * (-48)
• D = 1296 + 2304 = 3600

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

• x_1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

• x_1,2 = (-36 ± 60) / 24

Таким образом, получаем два корня:

• x₁ = 1 и x₂ = -4

Шаг 4: Определим интервалы выпуклости и вогнутости.

Теперь нам нужно проверить знаки второй производной на интервалах, которые определяются найденными точками перегиба (-∞, -4),(-4, 1) и (1, +∞).

• Для интервала (-∞, -4),например, подставим x = -5:
• y''(-5) = 12(-5)² + 36(-5) - 48 = 300 - 180 - 48 = 72 (положительно)
• Для интервала (-4, 1),например, подставим x = 0:
• y''(0) = 12(0)² + 36(0) - 48 = -48 (отрицательно)
• Для интервала (1, +∞),например, подставим x = 2:
• y''(2) = 12(2)² + 36(2) - 48 = 48 + 72 - 48 = 72 (положительно)

Шаг 5: Подводим итоги.

Итак, мы получили:

• Интервал (-∞, -4): функция выпуклая (y''> 0)
• Интервал (-4, 1): функция вогнутая (y'' < 0)
• Интервал (1, +∞): функция снова выпуклая (y''> 0)

Таким образом, точки перегиба находятся в x = -4 и x = 1, а интервалы выпуклости и вогнутости следующие:

• Выпуклая: (-∞, -4) и (1, +∞)
• Вогнутая: (-4, 1)