Как определить интервалы, на которых функция у = х³ - 3х возрастает и убывает?

Алгебра 11 класс Анализ функций интервалы функции возрастает и убывает у = х³ - 3х алгебра 11 класс анализ функции Новый

Для того чтобы определить интервалы, на которых функция у = х³ - 3х возрастает и убывает, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Найти производную функции.

   Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении переменной х. Для функции у = х³ - 3х производная будет:

   у' = 3х² - 3.

2. Найти критические точки.

   Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Мы приравняем производную к нулю:

   3х² - 3 = 0.

   Решим это уравнение:

   • 3х² = 3
   • х² = 1
   • х = ±1.

   Таким образом, у нас есть две критические точки: х = -1 и х = 1.

3. Построить интервал и проверить знак производной.

   Теперь мы разделим числовую прямую на интервалы с использованием найденных критических точек:

   • (-∞, -1)
   • (-1, 1)
   • (1, +∞)

   Теперь мы проверим знак производной на каждом из этих интервалов, подставляя тестовые значения:

   • Для интервала (-∞, -1), например, возьмем х = -2:

   у'(-2) = 3(-2)² - 3 = 12 - 3 = 9 (положительное).

   • Для интервала (-1, 1), например, возьмем х = 0:

   у'(0) = 3(0)² - 3 = 0 - 3 = -3 (отрицательное).

   • Для интервала (1, +∞), например, возьмем х = 2:

   у'(2) = 3(2)² - 3 = 12 - 3 = 9 (положительное).

4. Сделать выводы.

   На основании знаков производной на интервалах можно сделать вывод:

   • Функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞).
   • Функция убывает на интервале (-1, 1).

Таким образом, мы определили интервалы, на которых функция у = х³ - 3х возрастает и убывает.