Как определить максимальное значение функции log1/2(x^2-2x+9)?

Алгебра 11 класс Оптимизация функции максимальное значение функции логарифмическая функция алгебра 11 класс график функции нахождение максимумов функции Новый

Чтобы определить максимальное значение функции log1/2(x^2 - 2x + 9), сначала нужно понять, что это за функция и как мы можем ее анализировать.

Функция log1/2 обозначает логарифм по основанию 1/2. Логарифмы с основанием меньше 1 имеют свои особенности: они убывают. Это значит, что максимальное значение функции log1/2 будет достигаться при минимальном значении аргумента (x^2 - 2x + 9).

Теперь давайте найдем минимальное значение выражения x^2 - 2x + 9. Это квадратный трёхчлен, который можно представить в виде:

x^2 - 2x + 9 = (x - 1)^2 + 8

Мы использовали формулу выделения полного квадрата. Теперь давайте проанализируем это выражение:

• Член (x - 1)^2 всегда неотрицателен (он равен 0, когда x = 1).
• Таким образом, минимальное значение (x - 1)^2 равно 0.
• При этом минимальное значение всего выражения x^2 - 2x + 9 будет 0 + 8 = 8.

Теперь мы знаем, что минимальное значение x^2 - 2x + 9 равно 8. Это значит, что функция log1/2(x^2 - 2x + 9) будет иметь максимальное значение, когда x^2 - 2x + 9 = 8.

Теперь подставим это значение в логарифм:

log1/2(8)

Чтобы вычислить это значение, вспомним, что log1/2(8) можно переписать через логарифмы по основанию 2:

log1/2(8) = log2(8) / log2(1/2)

Значение log2(8) равно 3, так как 2^3 = 8, а log2(1/2) равно -1, так как 2^(-1) = 1/2.

Теперь подставим эти значения:

log1/2(8) = 3 / (-1) = -3

Таким образом, максимальное значение функции log1/2(x^2 - 2x + 9) равно -3.