Какое наименьшее значение функции y = (x - 8) e^x - 7 можно найти на отрезке [6; 8]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функции наименьшее значение функции y = (x - 8) e^x - 7 отрезок [6; 8] алгебра математический анализ Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = (x - 8)e^x - 7 на отрезке [6; 8], нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

   Сначала найдем производную функции y. Используем правило произведения для нахождения производной:

   y' = (u * v)' = u'v + uv', где u = (x - 8) и v = e^x.

   Тогда u' = 1, v' = e^x. Подставляем в формулу:

   y' = (1)e^x + (x - 8)e^x = e^x + (x - 8)e^x = e^x(1 + (x - 8)).

   Таким образом, y' = e^x(x - 7).

2. Найти критические точки:

   Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

   e^x(x - 7) = 0.

   Поскольку e^x никогда не равно нулю, остаётся:

   x - 7 = 0, отсюда x = 7.

3. Проверить значения функции на границах отрезка и в критической точке:

   Теперь нужно вычислить значение функции y в точках 6, 7 и 8:

   • y(6) = (6 - 8)e^6 - 7 = -2e^6 - 7.
   • y(7) = (7 - 8)e^7 - 7 = -1e^7 - 7.
   • y(8) = (8 - 8)e^8 - 7 = 0 - 7 = -7.
4. Сравнить значения:

   Теперь сравним полученные значения:

   • y(6) = -2e^6 - 7 (значение зависит от e^6, но оно отрицательное).
   • y(7) = -e^7 - 7 (значение также отрицательное и меньше, чем y(6)).
   • y(8) = -7.

Теперь сравниваем все три значения:

• y(6) < y(8) < y(7), так как e^6 и e^7 - положительные числа.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [6; 8] равно y(8) = -7.