Какое максимальное значение может иметь функция y=3x-6sinx на интервале [0;pi/2]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функции максимальное значение функции y=3x-6sinx интервал [0;pi/2] алгебра 11 класс анализ функции Новый

Чтобы найти максимальное значение функции y = 3x - 6sin(x) на интервале [0; π/2], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

   Для начала найдем производную функции y по x:

   y' = 3 - 6cos(x).

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим уравнение:

   3 - 6cos(x) = 0.

   Решим его:

   • 6cos(x) = 3
   • cos(x) = 1/2.

   Решение этого уравнения на интервале [0; π/2] дает x = π/3.

3. Определить значения функции в критических точках и на границах интервала.

   Теперь нам нужно найти значения функции y на границах интервала и в найденной критической точке:

   • На границе x = 0:

   y(0) = 3(0) - 6sin(0) = 0.

   • На границе x = π/2:

   y(π/2) = 3(π/2) - 6sin(π/2) = 3π/2 - 6.

   • В критической точке x = π/3:

   y(π/3) = 3(π/3) - 6sin(π/3) = π - 6(√3/2) = π - 3√3.

4. Сравнить значения.

   Теперь сравним значения функции:

   • y(0) = 0
   • y(π/2) = 3π/2 - 6
   • y(π/3) = π - 3√3

   Для более точного сравнения, можно подставить приближенные значения:

   • π ≈ 3.14, следовательно, 3π/2 ≈ 4.71 и 3π/2 - 6 ≈ -1.29.
   • √3 ≈ 1.73, следовательно, 3√3 ≈ 5.19 и π - 3√3 ≈ 3.14 - 5.19 ≈ -2.05.

Таким образом, значения функции на границах интервала и в критической точке:

• y(0) = 0
• y(π/2) ≈ -1.29
• y(π/3) ≈ -2.05

Максимальное значение функции на интервале [0; π/2] равно 0 и достигается при x = 0.