Какое наибольшее значение функции y = 18x - 4x√x можно найти на отрезке [7; 10]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функции Наибольшее значение функции функция y = 18x - 4x√x отрезок [7; 10] алгебра 11 класс задачи по алгебре максимальное значение функции Новый

Чтобы найти наибольшее значение функции y = 18x - 4x√x на отрезке [7; 10], нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции.

   Сначала найдем производную функции y по переменной x, чтобы определить критические точки:

   y = 18x - 4x√x = 18x - 4x * x^(1/2) = 18x - 4x^(3/2).

   Теперь найдем производную:

   y' = 18 - 4 * (3/2)x^(1/2) = 18 - 6x^(1/2).

2. Найти критические точки.

   Приравняем производную к нулю:

   18 - 6x^(1/2) = 0.

   Решим это уравнение:

   • 6x^(1/2) = 18
   • x^(1/2) = 3
   • x = 9.

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 9.

3. Проверить значения функции в критической точке и на границах отрезка.

   Теперь мы найдем значения функции y в критической точке и на границах отрезка [7; 10]:

   • y(7) = 18 * 7 - 4 * 7 * √7 = 126 - 28√7.
   • y(9) = 18 * 9 - 4 * 9 * √9 = 162 - 108 = 54.
   • y(10) = 18 * 10 - 4 * 10 * √10 = 180 - 40√10.
4. Сравнить значения.

   Теперь нам нужно оценить значения y(7), y(9) и y(10).

   Сначала вычислим y(7):

   √7 примерно равно 2.6457513110645906, значит:

   y(7) ≈ 126 - 28 * 2.6457513110645906 ≈ 126 - 74.1 ≈ 51.9.

   Теперь y(10):

   √10 примерно равно 3.1622776601683795, значит:

   y(10) ≈ 180 - 40 * 3.1622776601683795 ≈ 180 - 126.5 ≈ 53.5.

Теперь у нас есть следующие значения:

• y(7) ≈ 51.9
• y(9) = 54
• y(10) ≈ 53.5

Наибольшее значение функции на отрезке [7; 10] равно 54, которое достигается в точке x = 9.