Чтобы определить промежутки, где функция f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 36 возрастает и убывает, а также найти её экстремумы, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x).

   Производная функции f(x) обозначается как f'(x) и вычисляется по правилам дифференцирования. Для данной функции:

   f'(x) = 6x^2 - 6x - 12.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Сначала решим уравнение:

   6x^2 - 6x - 12 = 0.

   Упростим его, разделив на 6:

   x^2 - x - 2 = 0.

   Теперь можно решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

   Подставим значения:

   x = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± 3) / 2.

   Таким образом, получаем два корня:

   • x1 = 2,
   • x2 = -1.
3. Определить знаки производной на промежутках.

   Теперь у нас есть критические точки x = -1 и x = 2. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка:

   • (-∞, -1),
   • (-1, 2),
   • (2, +∞).

   Теперь проверим знак производной на каждом из этих промежутков:

   • Для промежутка (-∞, -1): выберем, например, x = -2:

   f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0 (функция возрастает).

   • Для промежутка (-1, 2): выберем, например, x = 0:

   f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0 (функция убывает).

   • Для промежутка (2, +∞): выберем, например, x = 3:

   f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 > 0 (функция возрастает).

4. Сделать выводы о возрастании и убывании функции.

   На основе найденных знаков производной можно сделать вывод:

   • Функция возрастает на промежутках (-∞, -1) и (2, +∞).
   • Функция убывает на промежутке (-1, 2).
5. Найти экстремумы.

   Экстремумы функции находятся в критических точках:

   • В точке x = -1 функция имеет максимум, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.
   • В точке x = 2 функция имеет минимум, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный.

   Теперь найдем значения функции в этих точках:

   f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 36 = -2 - 3 + 12 + 36 = 43.

   f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 36 = 16 - 12 - 24 + 36 = 16.

Таким образом, мы нашли, что:

• Функция возрастает на промежутках (-∞, -1) и (2, +∞).
• Функция убывает на промежутке (-1, 2).
• Экстремумы: максимум в точке (-1, 43) и минимум в точке (2, 16).