Как определить промежутки, где функция f(x)=2x^3 -3x^2-12x+36 возрастает и убывает, а также найти её экстремумы?

Алгебра 11 класс Анализ функций функция f(x) промежутки возрастания промежутки убывания экстремумы функции алгебра 11 класс анализ функции нахождение экстремумов Новый

Чтобы определить промежутки, где функция f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 36 возрастает и убывает, а также найти её экстремумы, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x).

   Производная функции f(x) обозначается как f'(x) и вычисляется по правилам дифференцирования. Для данной функции:

   f'(x) = 6x^2 - 6x - 12.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Сначала решим уравнение:

   6x^2 - 6x - 12 = 0.

   Упростим его, разделив на 6:

   x^2 - x - 2 = 0.

   Теперь можно решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

   Подставим значения:

   x = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± 3) / 2.

   Таким образом, получаем два корня:

   • x1 = 2,
   • x2 = -1.
3. Определить знаки производной на промежутках.

   Теперь у нас есть критические точки x = -1 и x = 2. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка:

   • (-∞, -1),
   • (-1, 2),
   • (2, +∞).

   Теперь проверим знак производной на каждом из этих промежутков:

   • Для промежутка (-∞, -1): выберем, например, x = -2:

   f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0 (функция возрастает).

   • Для промежутка (-1, 2): выберем, например, x = 0:

   f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0 (функция убывает).

   • Для промежутка (2, +∞): выберем, например, x = 3:

   f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 > 0 (функция возрастает).

4. Сделать выводы о возрастании и убывании функции.

   На основе найденных знаков производной можно сделать вывод:

   • Функция возрастает на промежутках (-∞, -1) и (2, +∞).
   • Функция убывает на промежутке (-1, 2).
5. Найти экстремумы.

   Экстремумы функции находятся в критических точках:

   • В точке x = -1 функция имеет максимум, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.
   • В точке x = 2 функция имеет минимум, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный.

   Теперь найдем значения функции в этих точках:

   f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 36 = -2 - 3 + 12 + 36 = 43.

   f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 36 = 16 - 12 - 24 + 36 = 16.

Таким образом, мы нашли, что:

• Функция возрастает на промежутках (-∞, -1) и (2, +∞).
• Функция убывает на промежутке (-1, 2).
• Экстремумы: максимум в точке (-1, 43) и минимум в точке (2, 16).