Чтобы определить промежуток, на котором функция y = x^2 - 12 ln (x-4) убывает, необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем использовать производную функции для анализа её поведения.

1. Найти производную функции.

   Сначала найдем производную функции y по x:

   • Производная от x^2 равна 2x.
   • Производная от -12 ln(x-4) равна -12 * (1/(x-4)) * (d/dx(x-4)) = -12/(x-4).

   Таким образом, производная функции будет:

   y' = 2x - 12/(x-4).

2. Найти критические точки.

   Для того чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

   2x - 12/(x-4) = 0.

   Решим это уравнение:

   • Переносим 12/(x-4) на другую сторону:
   • 2x = 12/(x-4).
   • Умножим обе стороны на (x-4) (при этом x не должен равняться 4):
   • 2x(x-4) = 12.
   • 2x^2 - 8x - 12 = 0.
   • Разделим уравнение на 2:
   • x^2 - 4x - 6 = 0.

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   • D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-6) = 16 + 24 = 40.
   • Корни уравнения:
   • x1 = (4 + √40) / 2 = 2 + √10,
   • x2 = (4 - √40) / 2 = 2 - √10.
3. Определить знаки производной.

   Теперь необходимо исследовать знак производной на интервалах, которые образуются критическими точками:

   • Интервалы: (-∞, 2 - √10),(2 - √10, 2 + √10),(2 + √10, +∞).

   Выберем тестовые точки в каждом интервале и подставим их в производную:

   • Для интервала (-∞, 2 - √10): выберем x = 0. Подставляем: y'(0) = 2(0) - 12/(0-4) = 3 > 0 (функция возрастает).
   • Для интервала (2 - √10, 2 + √10): выберем x = 2. Подставляем: y'(2) = 2(2) - 12/(2-4) = 4 + 6 > 0 (функция возрастает).
   • Для интервала (2 + √10, +∞): выберем x = 5. Подставляем: y'(5) = 2(5) - 12/(5-4) = 10 - 12 < 0 (функция убывает).
4. Записать промежок убывания.

   На основании анализа знаков производной, мы можем сделать вывод, что функция убывает на промежутке:

   (2 + √10, +∞).

Таким образом, функция y = x^2 - 12 ln (x-4) убывает на промежутке (2 + √10, +∞).