Как определить точки экстремума для функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1? Прошу помочь в решении этой задачи.

Алгебра 11 класс Экстремумы функций определение точек экстремума функция f(x) 2x^3 - 3x^2 - 1 решение задачи алгебра 11 класс Новый

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала мы находим первую производную функции f(x). Это делается для определения критических точек, где производная равна нулю или не существует.

• f'(x) = d(2x^3)/dx - d(3x^2)/dx - d(1)/dx
• f'(x) = 6x^2 - 6x

Шаг 2: Найти критические точки

Теперь мы приравниваем первую производную к нулю и решаем уравнение:

• 6x^2 - 6x = 0
• 6x(x - 1) = 0

Это уравнение равно нулю, когда:

• x = 0
• x = 1

Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 1.

Шаг 3: Найти вторую производную

Для определения типа экстремума (максимум или минимум) в этих точках, нам нужно вычислить вторую производную функции:

• f''(x) = d(6x^2 - 6x)/dx
• f''(x) = 12x - 6

Шаг 4: Проверить критические точки с помощью второй производной

Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

• Для x = 0:
• f''(0) = 12(0) - 6 = -6

Так как f''(0) < 0, то в точке x = 0 находится локальный максимум.

• Для x = 1:
• f''(1) = 12(1) - 6 = 6

Так как f''(1) > 0, то в точке x = 1 находится локальный минимум.

Шаг 5: Подведение итогов

Таким образом, мы определили, что:

• В точке x = 0 - локальный максимум.
• В точке x = 1 - локальный минимум.

Теперь вы можете подставить значения x = 0 и x = 1 в исходную функцию f(x), чтобы найти соответствующие значения функции в этих точках, если это необходимо.