Как определить точки экстремума для функции y = x^2 - 3/x - 2?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций точки экстремума функция y производная алгебра 11 класс анализ функции Новый

Чтобы определить точки экстремума функции y = x^2 - 3/x - 2, нам нужно выполнить несколько шагов. Экстремумы функции находятся в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте пройдем через все этапы решения.

1. Найдите производную функции.

   Сначала мы найдем производную функции y по x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:

   • Производная от x^2 равна 2x.
   • Производная от -3/x равна 3/x^2 (так как мы можем переписать это как -3 * x^(-1)).
   • Производная от -2 равна 0.

   Таким образом, производная функции будет:

   y' = 2x + 3/x^2.

2. Приравняйте производную к нулю.

   Теперь мы приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   2x + 3/x^2 = 0.

   Умножим обе стороны уравнения на x^2 (чтобы избавиться от дроби):

   2x^3 + 3 = 0.

   Теперь решим это уравнение:

   2x^3 = -3.

   x^3 = -3/2.

   x = (-3/2)^(1/3).

3. Определите, существует ли производная в этих точках.

   Не забудьте проверить, не равен ли x нулю, так как в этом случае производная не существует (функция имеет разрыв). В нашем случае x = (-3/2)^(1/3) не равен нулю, следовательно, производная существует.

4. Проверьте, является ли точка экстремумом.

   Чтобы выяснить, является ли найденная точка максимумом или минимумом, можно воспользоваться вторым производным тестом. Найдем вторую производную:

   y'' = 2 - 6/x^3.

   Теперь подставим найденное значение x = (-3/2)^(1/3) в y'' и определим его знак. Если y'' > 0, то это минимум; если y'' < 0, то это максимум.

Таким образом, мы нашли точки экстремума для функции y = x^2 - 3/x - 2. Не забудьте также проверить значения функции в этих точках, чтобы определить, какие из них являются максимумами, а какие минимумами.