Как определить точки экстремума функции y=(x/3)+(3/x)?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций определение точек экстремума функция y=(x/3)+(3/x) алгебра 11 класс нахождение экстремумов производная функции Новый

Чтобы определить точки экстремума функции y = (x/3) + (3/x), нам нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим их подробно.

1. Найти производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования.
• Первая часть функции (x/3) имеет производную 1/3.
• Вторая часть функции (3/x) можно переписать как 3*x^(-1). Производная этой части будет -3*x^(-2) или -3/(x^2).

Таким образом, производная функции y будет:

y' = 1/3 - 3/(x^2).

2. Приравнять производную к нулю. Для нахождения критических точек, мы приравниваем производную к нулю:

1/3 - 3/(x^2) = 0.

Теперь решим это уравнение:

• Переносим 3/(x^2) на другую сторону:

1/3 = 3/(x^2).

• Умножим обе стороны на 3x^2, чтобы избавиться от дробей:

x^2 = 9.

• Теперь найдем x:

x = 3 или x = -3.

3. Определить, являются ли найденные точки экстремумами. Для этого мы можем использовать второй производный тест или тест знаков первой производной:
• Найдем вторую производную функции:

y'' = 0 + 6/(x^3) = 6/(x^3).

• Теперь подставим найденные значения x:
• Для x = 3: y''(3) = 6/(3^3) = 6/27 = 2/9 (положительно), значит, здесь минимум.
• Для x = -3: y''(-3) = 6/(-3^3) = 6/(-27) = -2/9 (отрицательно), значит, здесь максимум.

Таким образом, мы определили, что:

• При x = 3 функция имеет минимум.
• При x = -3 функция имеет максимум.

Теперь вы знаете, как находить точки экстремума функции y = (x/3) + (3/x). Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!