Как определить точки максимума и минимума для следующих функций: а) y=(x-3)^2 +2 б) y=cos(2x)?

Алгебра 11 класс Анализ функций определение точек максимума точки минимума функции алгебра 11 класс y=(x-3)^2 +2 y=cos(2x) Новый

Чтобы определить точки максимума и минимума для функций, нам нужно использовать методы анализа, такие как нахождение производной и решение уравнения производной на ноль. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

а) y = (x - 3)^2 + 2

1. Найдем производную функции:

• y' = 2(x - 3).

2. Теперь приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

• 2(x - 3) = 0.
• x - 3 = 0.
• x = 3.

3. Теперь нужно определить, является ли эта точка максимумом или минимумом. Для этого можно использовать второй производной:

• y'' = 2.

4. Поскольку вторая производная положительна (y'' > 0), это указывает на то, что функция имеет минимум в точке x = 3.

5. Подставим x = 3 в исходную функцию, чтобы найти значение y:

• y(3) = (3 - 3)^2 + 2 = 2.

Таким образом, точка минимума: (3, 2).

б) y = cos(2x)

1. Найдем производную функции:

• y' = -2sin(2x).

2. Приравняем производную к нулю:

• -2sin(2x) = 0.
• sin(2x) = 0.

3. Синус равен нулю, когда:

• 2x = nπ, где n - целое число.
• x = nπ/2.

4. Теперь нам нужно определить, где находится максимум и минимум. Для этого можно использовать второй производной:

• y'' = -4cos(2x).

5. Теперь подставим критические точки (nπ/2) в вторую производную:

• Если n четное (например, n = 0, 2, 4...), то cos(2(nπ/2)) = cos(nπ) = (-1)^n = 1, значит, y'' > 0, и это точка минимума.
• Если n нечетное (например, n = 1, 3, 5...), то cos(2(nπ/2)) = cos((nπ)) = (-1)^n = -1, значит, y'' < 0, и это точка максимума.

Таким образом, у функции y = cos(2x) есть максимумы и минимумы в точках x = nπ/2, в зависимости от четности n:

• Максимум: x = (2k + 1)π/4 (где k - целое число),
• Минимум: x = kπ (где k - целое число).

Надеюсь, это поможет вам понять, как находить точки максимума и минимума для различных функций!