Как определить точку минимума для функции y = x^3 - 3,5x^2 + 2x - 3?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций точка минимума функция y алгебра 11 класс производная функции нахождение минимума Новый

Чтобы определить точку минимума функции y = x^3 - 3,5x^2 + 2x - 3, нам нужно выполнить несколько шагов, связанных с анализом производной функции.

1. Найдем первую производную функции.

Первая производная функции y по x обозначается как y'. Она показывает, как изменяется значение функции y при изменении x. Для данной функции:

• y' = 3x^2 - 7x + 2
2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю (y' = 0) или не определена. Мы решим уравнение:

• 3x^2 - 7x + 2 = 0

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой корней:

• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
• где a = 3, b = -7, c = 2.

Подставим значения a, b и c:

• b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 3 * 2 = 49 - 24 = 25
• Теперь находим корни:
• x = (7 ± √25) / 6
• x = (7 ± 5) / 6
• x₁ = 2, x₂ = 1/3.
3. Найдем вторую производную функции.

Теперь найдем вторую производную y'' для определения характера критических точек:

• y'' = 6x - 7.
4. Проверим критические точки.

Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

• Для x₁ = 2: y''(2) = 6*2 - 7 = 12 - 7 = 5 (больше 0, значит, это точка минимума).
• Для x₂ = 1/3: y''(1/3) = 6*(1/3) - 7 = 2 - 7 = -5 (меньше 0, значит, это точка максимума).
5. Определим координаты точки минимума.

Теперь найдем значение функции в точке минимума x = 2:

• y(2) = (2)^3 - 3.5*(2)^2 + 2*(2) - 3 = 8 - 14 + 4 - 3 = -5.

Итак, точка минимума функции y = x^3 - 3,5x^2 + 2x - 3 находится в точке (2, -5).