Чтобы определить значение производной функции y = x√(x - 5) в точке x₀ = 6, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции y. Для этого мы будем использовать правило произведения, так как функция состоит из произведения двух функций: u = x и v = √(x - 5).
2. Сначала найдем производные u и v:
   • Производная u = x равна u' = 1.
   • Чтобы найти производную v = √(x - 5), воспользуемся правилом дифференцирования корня:
     • v' = (1/2)(x - 5)^(-1/2) * (1) = 1/(2√(x - 5))
3. Теперь применим правило произведения:(uv)' = u'v + uv'. Подставим найденные производные:
   • y' = u'v + uv' = (1)√(x - 5) + x(1/(2√(x - 5)))
4. Упростим выражение:
   • y' = √(x - 5) + x/(2√(x - 5))
   • Объединим дроби:
     • y' = (2(x - 5) + x) / (2√(x - 5)) = (2x - 10 + x) / (2√(x - 5)) = (3x - 10) / (2√(x - 5))
5. Теперь подставим x₀ = 6 в производную:
   • y'(6) = (3(6) - 10) / (2√(6 - 5)) = (18 - 10) / (2√1) = 8 / 2 = 4.

Таким образом, значение производной функции y = x√(x - 5) в точке x₀ = 6 равно 4.