Как определить значение x, при котором производная функции f(x)=√(16-x²) равна нулю, то есть f'(x)=0?

Алгебра 11 класс Производные и их применение значение x производная функции f(x)=√(16-x²) f'(x)=0 алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить значение x, при котором производная функции f(x) = √(16 - x²) равна нулю, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем этот процесс подробно.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала найдем производную функции f(x). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Мы можем записать f(x) как (16 - x²)^(1/2).

• Используем правило производной: (u^n)' = n * u^(n-1) * u', где u = 16 - x² и n = 1/2.
• Находим u': производная u = 16 - x² равна -2x.
• Теперь подставляем в формулу: f'(x) = (1/2) * (16 - x²)^(-1/2) * (-2x).

Таким образом, производная будет равна:

f'(x) = -x / √(16 - x²).

Шаг 2: Установить производную равной нулю

Теперь нам нужно решить уравнение f'(x) = 0:

-x / √(16 - x²) = 0.

Шаг 3: Решить уравнение

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. В данном случае, знаменатель √(16 - x²) не может быть равен нулю, так как это приведет к неопределенности. Следовательно, мы рассматриваем только числитель:

• -x = 0.

Таким образом, x = 0.

Шаг 4: Проверка условия

Теперь нужно убедиться, что x = 0 находится в области определения функции f(x). Поскольку под корнем у нас 16 - x², то 16 - x² должно быть больше или равно нулю:

• 16 - x² ≥ 0.
• Это означает, что -4 ≤ x ≤ 4.

Так как 0 находится в этом интервале, мы можем утверждать, что x = 0 является допустимым значением.

Ответ:

Значение x, при котором производная функции f(x) = √(16 - x²) равна нулю, равно x = 0.