Как определить знаменатель геометрической прогрессии, если выполняется равенство: в3 + в4 = 2(в4 + в5)?

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия знаменатель геометрической прогрессии равенство в3 в4 алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, что в геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии. Обозначим этот знаменатель как q.

Пусть b - это первый член прогрессии. Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• b3 = b * q^2
• b4 = b * q^3
• b5 = b * q^4

Теперь подставим эти выражения в данное равенство:

b3 + b4 = 2(b4 + b5)

Подставляем значения:

b * q^2 + b * q^3 = 2(b * q^3 + b * q^4)

Теперь упростим обе стороны уравнения:

b(q^2 + q^3) = 2b(q^3 + q^4)

Если b не равно нулю, то мы можем разделить обе стороны на b:

q^2 + q^3 = 2(q^3 + q^4)

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

q^2 + q^3 = 2q^3 + 2q^4

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

q^2 + q^3 - 2q^3 - 2q^4 = 0

q^2 - q^3 - 2q^4 = 0

Теперь можно вынести общий множитель q^2:

q^2(1 - q - 2q^2) = 0

Это уравнение будет равно нулю, если либо q^2 = 0, что невозможно, так как знаменатель не может быть равен нулю, либо:

1 - q - 2q^2 = 0

Решим квадратное уравнение:

2q^2 + q - 1 = 0

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Теперь найдем корни уравнения:

q = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± 3) / 4

Это дает два корня:

• q1 = (2) / 4 = 0.5
• q2 = (-4) / 4 = -1

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может быть равен 0.5 или -1.