Как построить график функции у = |x² + 5х + 4| и определить, сколько максимум общих точек он может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Алгебра 11 класс Графики функций и их свойства график функции у = |x² + 5х + 4| общие точки прямая ось абсцисс алгебра 11 класс Новый

Для начала давайте разберем, как построить график функции y = |x² + 5x + 4|. Эта функция представляет собой модуль квадратного трехчлена, который мы сначала рассмотрим без модуля, а затем добавим его влияние.

1. Найдем корни квадратного уравнения:

• Решим уравнение x² + 5x + 4 = 0 с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b² - 4ac = 5² - 4*1*4 = 25 - 16 = 9.
• Корни уравнения: x1 = (-b + √D) / 2a и x2 = (-b - √D) / 2a.
• Подставляя значения, получаем:
• x1 = (-5 + 3) / 2 = -1 и x2 = (-5 - 3) / 2 = -4.

2. Построим график функции y = x² + 5x + 4:

• Это парабола, открытая вверх, с вершиной между корнями.
• Вершина параболы находится по формуле xv = -b / 2a = -5 / 2 = -2.5.
• Подставим xv в уравнение, чтобы найти значение y: y = (-2.5)² + 5*(-2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25.

3. Теперь добавим модуль:

• Когда x² + 5x + 4 принимает отрицательные значения (между корнями -4 и -1), график функции y = |x² + 5x + 4| будет отражен относительно оси абсцисс.
• Таким образом, для -4 < x < -1 график будет находиться выше оси абсцисс, а для x ≤ -4 и x ≥ -1 он будет ниже.

4. Определим, сколько максимум общих точек график функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс:

• Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид y = k, где k - постоянная.
• График функции y = |x² + 5x + 4| может пересекаться с прямой y = k в различных точках.
• Если k > 0, то общие точки могут быть:
• 2 точки, если k меньше максимального значения функции;
• 1 точка, если k равно максимальному значению функции;
• 0 точек, если k больше максимального значения функции.
• Максимальное количество пересечений с прямой y = k будет 2, когда прямая проходит между двумя корнями функции.

Таким образом, максимальное количество общих точек графика функции y = |x² + 5x + 4| с прямой, параллельной оси абсцисс, составляет 2 точки.