Как построить график функции y=(x²-x+2)÷|x+1| и объяснить процесс построения?

Алгебра 11 класс Графики функций построение графика функции график y=(x²-x+2)÷|x+1| объяснение построения графика алгебра 11 класс функции и графики анализ функции математический анализ свойства графиков функций Новый

Для построения графика функции y = (x² - x + 2) / |x + 1| мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс поэтапно.

Шаг 1: Определение области определения функции

Сначала нам нужно выяснить, для каких значений x функция определена. Поскольку в нашем выражении присутствует модуль, мы должны убедиться, что знаменатель не равен нулю.

• Знаменатель |x + 1| равен 0, когда x + 1 = 0, то есть x = -1.

Таким образом, функция не определена в точке x = -1. Область определения функции будет: x ∈ R, x ≠ -1.

Шаг 2: Исследование функции на промежутках

Теперь мы разделим область определения на два промежутка, так как модуль влияет на знак выражения:

• Промежуток 1: x < -1 (в этом случае |x + 1| = -(x + 1))
• Промежуток 2: x > -1 (в этом случае |x + 1| = x + 1)

Шаг 3: Упрощение функции на каждом промежутке

Теперь упростим функцию на каждом из промежутков:

1. Для x < -1:
   • y = (x² - x + 2) / (-(x + 1)) = -(x² - x + 2) / (x + 1)
2. Для x > -1:
   • y = (x² - x + 2) / (x + 1)

Шаг 4: Нахождение ключевых точек

Теперь мы должны найти ключевые точки, такие как нули функции и точки, где производная равна нулю.

• Найдем нули числителя: x² - x + 2 = 0. Используем дискриминант D = b² - 4ac:
  • D = (-1)² - 4 * 1 * 2 = 1 - 8 = -7 (дискриминант отрицательный).

Это означает, что у функции нет действительных корней, и она не пересекает ось x.

Шаг 5: Исследование поведения функции

Исследуем поведение функции на границах промежутков:

• На промежутке x < -1, когда x стремится к -1, y стремится к +∞.
• На промежутке x > -1, когда x стремится к +∞, y также стремится к +∞.

Шаг 6: Построение графика

Теперь мы можем построить график:

• На промежутке x < -1 график будет убывать, начиная с +∞ и стремясь к некоторому значению.
• На промежутке x > -1 график будет также возрастать, начиная от некоторого значения и стремясь к +∞.

График функции будет разрывным в точке x = -1, и не будет пересекаться с осью x. Теперь, имея все эти данные, можно нарисовать график функции.