Чтобы разложить многочлен x^3 + 5x^2 + 3x - 9 на множители, мы можем использовать метод деления многочлена или метод подбора корней. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам в этом процессе.

Сначала попробуем найти рациональные корни многочлена. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях, которая гласит, что возможные рациональные корни многочлена имеют вид ±p/q, где p - делители свободного члена, а q - делители старшего коэффициента.

• Свободный член: -9 (делители: ±1, ±3, ±9)
• Коэффициент при x^3: 1 (делители: ±1)

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±3, ±9.

Теперь подставим эти значения в многочлен и проверим, при каком значении многочлен равен нулю.

• Для x = 1: 1^3 + 5*1^2 + 3*1 - 9 = 1 + 5 + 3 - 9 = 0 (это корень!)
• Для других значений (например, x = -1, x = 3 и т.д.) можно проверять, но мы уже нашли корень x = 1.

Теперь, когда мы нашли корень x = 1, можем разделить многочлен x^3 + 5x^2 + 3x - 9 на (x - 1) с помощью деления многочленов.

1. Делим x^3 на x, получаем x^2.
2. Умножаем x^2 на (x - 1): x^3 - x^2.
3. Вычитаем: (5x^2 - (-x^2)) = 6x^2.
4. Спускаем следующий член: 6x^2 + 3x.
5. Делим 6x^2 на x, получаем 6x.
6. Умножаем 6x на (x - 1): 6x^2 - 6x.
7. Вычитаем: (3x - (-6x)) = 9x.
8. Спускаем последний член: 9x - 9.
9. Делим 9x на x, получаем 9.
10. Умножаем 9 на (x - 1): 9x - 9.
11. Вычитаем: 0.

Таким образом, мы получили результат деления: x^2 + 6x + 9.

Теперь нам нужно разложить x^2 + 6x + 9. Это полный квадрат:

x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2.

Теперь мы можем записать многочлен в разложенном виде:

x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x - 1)(x + 3)^2.

Таким образом, окончательный ответ: (x - 1)(x + 3)^2.